Kolmoispolarisaattoriparadoksista yleistajuisesti
Kolmoispolarisaattoriparadoksi on ilmiö, jolla voidaan havainnollistaa makroskooppista kvantti-ilmiötä, tässä tapauksessa tasopolarisoidun valon etäisyyteen ulottuvaa vuorovaikutusta/superpositiota valon kulkusuunnassa peräkkäin asetettujen polarisaattorilevyjen kanssa.
Ilmiötä voidaan lähestyä yleistajuisesti tarkastelemalla valon polarisaatiota kvanttifysiikan kontekstissa ja fotonin polarisaatiotilan kuvausta polarisaattorisysteemissä. Tehdään lisäksi vertailu valon taittumiseen, jonka kvanttimekaaniseen/mikroskooppiseen selitykseen liitetään fotonin spin.
Motivaatio tämän artikkelin kirjoittamiseen syntyi Pelistrategiat ja looginen päättely -nimisen valinnaisainetoteutuksen todennäköisyyslaskennan osuudesta, jossa valtakunnallisen matlu-valinnaisen tapaan opiskelija
- laskee klassisia todennäköisyyksiä ja ratkaisee monipuolisia ongelma- ja päättelytehtäviä
- hyödyntää erilaisia ratkaisumenetelmiä, esimerkiksi taulukointi, kuvion piirtäminen, väärien vastausten poissulkeminen
- ratkaisee geometrisia, loogisia tai optimointipulmatehtäviä
- kehittää itse päättelytehtäviä ja selittää niiden ratkaisuperiaatteet
- arvioi käyttämiensä ratkaisumenetelmien soveltuvuutta
Oppitunnilla nousi esiin kysymyksiä, mm. millaisiin ongelmiin saadaan ratkaisu laskemalla klassisia todennäköisyyksiä ja onko olemassa ongelmia, joihin ei saada ratkaisua klassisen todennäköisyyden avulla? Silloin muistin kolmoispolarisaattorikokeen sekä siitä tehdyn Youtube-videon [1], jossa esitetään mm. että Venn-diagrammit eivät sovellu polarisaattorit läpäisevien fotonijoukkojen kuvaukseen. Opiskelijan tiedonhalua ei saada tyhjentävästi tyydytettyä toteamalla, että Venn-diagrammeja ei voida soveltaa tai että Boolen algebra A ja B ja C ei ole voimassa tai että Bellin epäyhtälö ei toteudu. Rinnalle tarvitaan kuvaus siitä, millaista matematiikkaa voidaan soveltaa ja sovelletaan fysikaalisissa ilmiöissä, jotka ovat osa opiskelijoiden arkea (valon polarisaatiota hyödynnetään mm. näytöissä). Tämän motivoimana otin käyttöön ehdollisen todennäköisyyden työkalun kolmoispolarisaattorikokeen makroskooppiseen kuvaukseen ja siihen liittyvään tehtävään (ks. Liite artikkelin lopussa).
Johdantona aiheeseen voidaan käyttää kolmea peräkkäistä kolikonheittoa, jotka ovat erillisiä ja toisistaan riippumattomia tapahtumia. Todennäköisyys saada kolme samaa on pienempi kuin todennäköisyys sille, että saadaan 2:1 (kruunut vs. klaava tai päinvastoin). Kolmoispolarisaattorikokeessa fotoni yhdistää polarisaattorien ominaisuudet kokonaisuudeksi tavalla, jonka klassisessa analogiassa kolikot pyörisivät ohuiden lankojen varassa yhteisellä taajuudella mutta eri vaiheissa ja niiden kanssa vuorovaikuttaisi nuoli, joka kulkisi kolikkoketjun läpi romahduttamatta yksittäistä kolikkoa tilaan kruunu tai klaava. Tapahtumat eivät enää olisi riippumattomia vaan nuoli voisi ottaa kimmokkeen keskimmäisestä kolikosta, muuttaa hiukan suuntaansa, osua viimeisen kolikon reunaan ja mennä siitä läpi.
Käsitys fotoneista erillisinä kvanttimekaanisina hiukkasina vakiintui Albert Einsteinin töiden myötä (valon hiukkasluonne valosähköilmiössä). Keskityn tässä artikkelissa fotonien ominaisuuksiin siltä osin, kun niitä tarvitaan kolmoispolarisaattorikokeen ymmärtämiseksi ja sivuutan valon aaltoluonteen yksityiskohtaisen tarkastelun. Kaksoisrakokoe yksittäisfotoneilla samoin kuin nyt tarkasteltava kolmoispolarisaattorikoe ovat kumpikin klassisen fysiikan näkökulmasta paradoksaalisia, mutta saavat selityksensä luontevasti materiaaliin liittyvien kvanttikenttien tarkastelulla. Lisäksi tarvitaan ajatus fotoniin liittyvän aaltofunktion ulottumisesta fotonin etenemissuuntaan/ etenemissuuntaa vastaan kohtisuorassa suunnassa. Mahdollisuuksien maailma fotoneilla realisoituu kaksoisraon taakse varjostimelle syntyvänä maksimina (siis kohdassa, johon klassisesti ei tulisi yhtään fotonia) – samaan tapaan kahden, 0 asteen ja 90 asteen kulmaan asetetun polarisaattorin väliin 45 asteen kulmaan asetettu kolmas polarisaattori antaa fotoneille mahdollisuuden läpäistä kolmen polarisaattorin systeemi, vaikka ilman tuota kolmatta niiden läpäisymahdollisuudet ovat lähellä nollaa. Einstein ei kyennyt antamaan tyhjentävää vastausta/selitystä fotonien havaituille uusille ominaisuuksille, vaan käytti nimitystä “kumma etävaikutus”. Louis de Broglien esittämään hienovaraisesti deterministiseen kvanttimekaniikan piilomuuttujateoriaan vuonna 1927 viidennessä Solvay-konferensissa Belgiassa Wolfgang Pauli antoi murskaavan kritiikin [2].
Vuonna 1964 John Bell todisti kuuluisan teoreemansa, joka osoittaa, että jos lokaaleja piilomuuttujia on olemassa, tiettyjen lomittumista koskevien kokeiden tulokset toteuttavat Bellin epäyhtälön [3]. Jos sen sijaan lomittumisesta aiheutuvia tilastollisia korrelaatioita ei voi selittää lokaaleilla piilomuuttujilla, Bellin epäyhtälö ei toteudu. Bellin epäyhtälö antaa työkalun, jolla todennäköisyyden “epäklassisuus” vs. “klassisuus” voidaan todeta. Fotonipareilla on tehty lukuisia tutkimuksia, joissa fotonien korrelaatio ts. fotonien toisiinsa kytkeytyneet ominaisuudet ovat osoittautuneet vahvoiksi ja voidaan sanoa, että lokaaleilla piilomuuttujilla ts. klassisella determinismillä ei ole roolia kvanttimekaniikassa, tutkituissa tapauksissa Bellin epäyhtälö ei toteudu. Vaikka kysymys henkilöityy Einsteinin ja Bohrin kiistaan, se on nähtävä vieläkin isompana kysymyksenä todellisuuden luonteesta.
Kvanttitodellisuus on epälokaali ja epädeterministinen ja kausaalisuutta on arvioitava tapauskohtaisesti – kytketyn fotoniparin samanaikaiset tapahtumat voivat tapahtua etäällä toisistaan.
Miten klassiseen todennäköisyyteen ts. Boolen logiikkaan perustuva Bellin epäyhtälö kirjoitetaan kolmoispolarisaattorikokeessa – epäyhtälö ei toteudu
$P(A)P(B)\le\ P(A),$
missä $P(A)$ ja $P(B)$ ovat analysaattorin A ja lähteen väliin asetetun polarisaattorin B läpäisytodennäköisyydet lähteestä S lähtevälle tasopolaroidulle valolle. Bellin epäyhtälö hyödyntää Boolen algebraa “ja” läpäisytapahtumille A:ssa ja B:ssä. Bellin epäyhtälön mukaan läpäisytodennäköisyyksien tulon on oltava pienempi kuin kummankaan polarisaattorin läpäisytodennäköisyyden erikseen. Tehtäväliitteen kuvasta näkyy, että epäyhtälössä vertailuoperaattorin tulisi olla kokonaan toisin päin – kolmen polarisaattorin yhdistelmä läpäisee valoa siinä missä kahden ei läpäise. Tavallisille absorbaattoreille Bellin epäyhtälö on voimassa ja se voidaan kirjoittaa muotoon
$\forall\ P_j;\ \prod_{n=1}^{k}P_k\le\ P_j$
Absorbaattorien läpäisyä voidaan havainnollistaa Venn-diagrammien avulla. Oletetaan tasaisesti jakautuneiden fotonien vuo, ja peitetään sitä kolmella ympyrämäisellä absorbaattorilla: siellä missä kaksi tai kolme absorbaattoria menee päällekkäin (ympyrät leikkaavat toisensa), fotoneja on enintään yhtä monta pinta-alayksikköä kohti kuin siellä missä absorbaattorit eivät leikkaa toisiaan. Polarisaattorien tapauksessa näin ei tapahdu vaan läpäisy riippuu oleellisesti polarisaattorien kierrosta toisiinsa nähden.
Miten paradoksista päästään eroon – kirjoitetaan epäklassisen todennäköisyyden huomioon ottava lauseke ehdollisen todennäköisyyden avulla.
Tässä artikkelissa ei tyhjentävästi suljeta pois piilomuuttujateorioita kvanttimekaniikassa, vaan tarkastelun painopiste on siinä, kuinka epäklassisia todennäköisyyksiä voidaan mallintaa, ja miten se voidaan tehdä toisen asteen opiskelijoille sopivalla tasolla. Boolen ja Bellin lisäksi viitteeksi saadaan kolmas B:llä alkava matemaatikko, nimittäin Bayes. Ehdollisella todennäköisyydellä on todennäköisyyslaskennassa rooli, joka Markovin ketjujen kautta ulottuu moderniin sään ennustamiseen: seuraavan päivän säähän vaikuttaa edellisen päivän sää. Polarisaattorien ketjulle voidaan kirjoittaa lauseke (tässä lähteen S perään ajatellaan kolme polarisaattoria: C, B ja A):
$P(C)P(B|C)P(A|B)$
Kukin ehdollinen todennäköisyys merkitsee sitä, että ketjussa edellinen polarisaattori toimii lähteenä seuraavalle. Kukin läpäisytodennäköisyys riippuu polarisaattorien välisestä kiertokulmasta siten, että se on Malusin lain mukainen loiva kosinifunktio (voidaan karkeissa mittauksissa approksimoida lineaarisella funktiolla, menee nollaan kun $\theta=\ 90^{\circ}$).
Mikä kolmoispolarisaattorikokeessa on se korreloitu fotonipari, joka tuottaa havaitun epälokaalin todellisuuden?
Muistutan tässä yhteydessä, että kaksoisrakokoe on tehty yksittäisfotoneilla ja jopa yksittäisillä atomeilla valohilassa (mikä on ensin mainitulle koejärjestelylle päinvastainen koejärjestely). Eli yksittäisfotonilla on eksoottisia ominaisuuksia. Jotta tämä esitys säilyy yleistajuisena, tarkastellaan ensin valon taittumista, tässä tapauksessa yhdensuuntaissiirtoa lasilevyssä. Fotonit vuorovaikuttavat lasilevyn atomien sähkömagneettisen kentän kanssa siten, että lasissa niiden nopeus pienenee ja lasista ilmaan siirryttäessä jälleen kasvaa. Teoreettisessa fysiikassa sanotaan, että lasissa etenevät fotonit ovat pukeissa (dressed) ja jätettyään lasin ovat vastaavasti paljaina (bare). Hyväksymme sen, että fotonin nopeus väliaineessa hidastuu, mutta palaa entiseen arvoonsa fotonin jätettyä väliaineen taakseen. Vastaava ilmiö havaitaan, kun autolla ajetaan lumisella parkkipaikalla vinosti auraamatta jääneen kohdan yli. Jotta analogia olisi toimiva, ajattelemme, että fotonilla on spin, sanomme että fotonin spin = 1.
Koska fotoni lisäksi menee eteenpäin, sen tasossa pyörivän kompleksivektorin kärki piirtää ruuviviivaa. Tasopolarisoidun valon ajatellaan muodostuvan pareista, joissa vastakkaisesti ympyräpolarisoituneet fotonit läpäisevät polarisaattorin S samanaikaisesti.* Optisesti aktiivinen materiaali, sokeriliuos polarimetriassa tai polarisaattorisuodin em. kolmoispolarisaattorikokeessa kykenee aiheuttamaan nopeuseron oikea- ja vasenkätisesti ympyräpolarisoituneiden fotonien välille, jolloin tasopolarisoidun valon polarisaatiotaso kiertyy. Polarimetriassa kolmoispolarisaattorikokeen tulosta käytetään hyväksi: lähteen ja analysaattorin väliin asetetun optisesti aktiivisen liuoksen “kiertokulma” määritetään analysaattorin läpäisevän valon intensiteetin avulla.
Erona em. yhdensuuntaissiirrokseen nollakulmasta poikkeavilla kulmilla, tasopolarisoituneen valon polarisaatiotaso kiertyy valon kulkiessa suoraviivaisesti polarisaattorin läpi. Fotonin polarisaatiotilan muutos on pysyvä siinä missä nopeuden muutos on väliaikainen. Polarisaatiotilan muutoksen kannalta on epäoleellista se millä nopeudella fotoni kulkee levyjen välissä. Suureita on tarkasteltava erikseen. Voidaan sanoa, että tasopolarisoidun fotonin polarisaatiotila ulottuu kolmen neliulotteisessa aika-avaruudessa peräkkäin asetetun polarisaatiosuotimen yli. Tällöin läpäisy on mahdollinen ja sitä on mahdollista kuvailla makroskooppisesti ehdollisen todennäköisyyden välinein. Aiheen jatko-opiskeluun (opettajalle) suosittelen David Bohmin mikroskooppista teoriaa, jossa ehdollisen todennäköisyyden käsitteet viedään aaltofunktioiden tasolle, ks. yhtälö (6.1) viitteessä [4].
* Matemaattisesti tässä riittää kvanttimekaanisen superposition käsite, mutta sitä on vaikeampi hahmottaa/visualisoida kuin korreloitua paria. Korreloidun fotoniparin puhdas yhteistila (superpositiotila) voidaan kirjoittaa muotoon:
$\left(\left.\left|R,L\right.\right\rangle+\left.\left|L,R\right.\right\rangle\right)/\sqrt2$
Yksittäisfotonin yleinen puhdas superpositiotila $\left.\left|\mathrm{\Psi}\right.\right\rangle$ voidaan kirjoittaa muotoon $\left(\left.\ \alpha\left|R\right.\right\rangle+\left.\ \beta\left|L\right.\right\rangle\right)$, jossa α ja β ovat kompleksilukuja ja $\left|\alpha\right|^2+\left|\beta\right|^2=1$, jotta tila olisi fysikaalinen. R ja L viittaavat oikea- ja vasenkätisesti ympyräpolarisoituneisiin tiloihin. Yhtä hyvin voidaan kirjoittaa $\left(\left.\alpha\left|V\right.\right\rangle+\left.\ \beta\left|H\right.\right\rangle\right)$, jossa kirjaimet V ja H viittaavat vertikaalisesti ja horisontaalisesti polarisoituneisiin tiloihin (ortogonaaliset kantavektorit on tässä valittu toisin kuin edellä). Tässä kannassa puhtaalle vertikaalisesti polarisoituneelle superpositiotilalle $\left.\left|V\right.\right\rangle=\left(\left.\left|R\right.\right\rangle+\left.\left|L\right.\right\rangle\right)/\sqrt2$
voidaan kirjoittaa tiheysmatriisi
$\left[\begin{matrix}1&0\\0&0\\\end{matrix}\right]$
siinä, missä sekoitetun (polarisoitumattoman) tilan tiheysmatriisi on
$\left[\begin{matrix}0{,}5&0\\0&0{,}5\\\end{matrix}\right]$
Jos analysaattorin A ja lähteen S välinen kulma on 90⁰, analysaattorin läpäisevän valon polarisaatiotila on muuttunut (lähteen) vertikaalisesta horisontaaliseen eli matriisien avulla esitettynä:
$\left[\begin{matrix}1&0\\0&0\\\end{matrix}\right]\rightarrow\rightarrow\rightarrow\left[\begin{matrix}0&0\\0&1\\\end{matrix}\right]$
Analysaattorin läpäisevän valon intensiteetti riippuu lähteen ja analysaattorin väliin asetettujen polarisaattorien kierrosta – kunkin polarisaattorin vaikutus superpositiotilaan on mahdollista esittää matriisien avulla (ei tehdä tässä). Matriisitulo on eri asia kuin todennäköisyyksien tulo; matriisitulo $AB ≠ BA$.
Viitteet
[1] Minutephysics Bell’s Theorem: The Quantum Venn Diagram Paradox. https://www.youtube.com/watch?v=zcqZHYo7ONs.
[2] Born, Max; Heisenberg, Werner (1927). ”Quantum mechanics”, viidennen Solvay-konferenssin asiakirjat.
[3] Bell, J. S. (1964). ”On the Einstein Podolsky Rosen Paradox”. Physics 1 (3): 195–200. https://cds.cern.ch/record/111654/files/vol1p195-200_001.pdf.
[4] Dürr, Detlef; Goldstein, Sheldon; Zanghí, Nino (2003). ”Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty”. Journal of Statistical Physics. 67 (5–6): 843–907. https://arxiv.org/abs/quant-ph/0308039.
Liite: Tehtävä. Epäklassinen todennäköisyys
Kuvan 1 Samsung-puhelimen LCD-paneelin edessä on kolme polarisaattoria: näyttöön kuuluva S (niin kuin source eli lähde), 45-asteen kulmaan asetettu B ja 90-asteen kulmaan asetettu A (niin kuin analysaattori). Kuvasta näkyy, että A blokkaa S:ltä tulevan valon muualta kuin siltä alueelta, jossa A:n ja S:n välissä on B.
Jos S, B ja A olisivat tavallisia värisuotimia, vaikkapa piirtoheitinkalvoja, niille olisi voimassa epäyhtälö $P(A)P(B)≤P(A)$, jossa P(suodin) = suotimen läpäisykerroin valolle. Epäyhtälön mukaan kahden suotimen yhdistelmä läpäisee valoa vähemmän kuin kumpikaan suotimista erikseen; kukin suotimista absorboi valoa.
Jos S, B ja A ovat polarisaatiosuotimia, tilanne on ratkaisevasti erilainen. Suotimien S ja A väliin asetettu B on paitsi uusi analysaattori myös uusi lähde vanhalle analysaattorille ja koko systeemin läpäisykerrointa voidaan mallintaa tulona $P(B)P(A|B)$, jossa $P(A|B)$ on läpäisykerroin A:lle sillä ehdolla, että valo on läpäissyt B:n.
Analysaattorin kiertokulma lähteeseen nähden vaikuttaa läpäisykertoimeen seuraavasti:
| Kiertokulma asteina | $P(A)$ |
| 0 | 1,00 |
| 22,5 | 0,75 |
| 45 | 0,50 |
| 67,5 | 0,25 |
| 90 | 0,00 |
Kuvan 1 mukainen tilanne voidaan analysoida seuraavasti $P(B) = 0{,}50$ ja myös $P(A|B) = 0{,} 50$. Kolmen polarisaattorin yhdistelmälle $P(B)P(A|B) = 0,50\cdot0 {,} 50 = 0 {,} 25$. Se on isompi kuin $P(A)$, joka on A:n läpäisy ilman B:tä (ja on kuvan ja taulukon mukaan lähellä nollaa).
Miten kuvan tilanne muuttuu, jos systeemiin lisätään neljäs polarisaatiosuodin, C, S:n ja B:n väliin 22,5 asteen kulmaan lähteeseen S nähden? Onko systeemin läpäisykerroin suurempi vai pienempi kuin 0,25? Entäpä jos suodin C laitettaisiin B:n ja A:n väliin 67,5 asteen kulmaan?
Vihje: Laske yllä olevan taulukon tiedoista läpäisykerroin $P(C) \cdot P(B|C) \cdot P(A|B)$.
