A-osan ja ohjelmistojen tasapaino lyhyessä matematiikassa

Sain vähän aikaa sitten kysymyksen siitä, onko A-osan painoarvon nostaminen myös lyhyessä matematiikassa oppimäärän hengen mukaista. Matematiikan ylioppilaskokeiden rakennemuutoksen seurauksenahan puolet pisteistä tulee A-osasta syksystä 2024 lähtien.

Lukion opetussuunnitelman perusteissa 2019 on jokaisessa moduulissa selkeitä ohjelmistoihin liittyviä tavoitteita. Lisäksi aihepiirit ovat usein sellaisia, joissa ohjelmistojen käyttäminen on luontevaa. Esimerkiksi data-aineistoja on usein mielekkäämpää käsitellä koneellisesti kuin käsin, varsinkin jos ne ovat suuria. Toisaalta LOPS sisältää myös paljon tavoitteita, jotka eivät ohjelmistoihin liity lainkaan. Nämä tavoitteet eivät aina välttämättä ole ihan yhtä konkreettisia, jolloin ohjelmistoihin liittyviä tavoitteita on helpompi mitata ja niitä on helpompi yrittää saavuttaa. Selkeä esimerkki tästä on esimerkiksi moduulin MAB4 yhteydessä. Eräs moduulin tavoitteista on ”näkee reaalimaailman ilmiöissä säännönmukaisuuksia ja riippuvuuksia ja kuvaa niitä matemaattisilla malleilla”. Toinen taas on ”osaa käyttää ohjelmistoja mallintamisessa, polynomi- ja eksponenttifunktion ominaisuuksien tutkimisessa sekä polynomi- ja eksponenttiyhtälöiden ratkaisussa sovellusten yhteydessä”. Jälkimmäisessä on selkeästi enemmän konkretiaa siitä mitä tavoitellaan, mutta se ei tee siitä tärkempää.

Omasta mielestäni kaikki kuitenkin lopulta palautuu siihen, että vaikka ohjelmistot ovat hyödyllisiä, ei niillä pysty tekemään mielekkäitä asioita, jos matematiikan perusosaaminen ei ole hallinnassa. Ohjelmistot eivät ratkaise ongelmia ihmisten puolesta. Ne vain auttavat teknisissä yksityiskohdissa, mutta ne eivät voi auttaa näissä, jos käyttäjä ei osaa tehdä oikeanlaisia syötteitä tai hahmota ongelmaa matemaattisesti oikein, eikä myöskään silloin, jos käyttäjä ei osaa tulkita vastausta oikein.

Pyrin nyt valottamaan ylläolevaa esimerkkien avulla.

Syksy 2020, lyhyen matematiikan tehtävä 2

Yhtälöitä. Ratkaise seuraavat yhtälöt. Anna vastausten likiarvot kahden desimaalin tarkkuudella.

1. $x^2=7$ (3 p.)
2. $7 x^5 + 2 =-3x^5 + 4$ (3 p.)
3. $(3x)^3\cdot3^4=3^{11}$ (3 p.)
4. $13^x = 147$ (3 p.)

Tämän tehtävän keskiarvo oli $3{,}8$ pistettä. Tehtävän maksimipisteet olivat $12$ pistettä. Tämä tehtävä aiheutti aikoinaan pientä keskustelua siitä, osaavatko lyhyen matematiikan lukijat ottaa toisessa alakohdassa tarvittavan 5. juuren A-osassa käytössä olevilla laskimilla. Käytännössä vain hyvin harva ratkaisu päätyi niin pitkälle, että tämä ongelma olisi tullut vastaan. Hyvin moni ratkaisu nimittäin eteni suurinpiirtein näin: ”Koska $7 x^5 + 2 =-3x^5 + 4$, niin $10 x^{10}=2$.” Ratkaisussa oli siis laskettu yhteen eksponentit.

Vastaava virhe toistui myös kolmannessa kohdassa. Ehkä hieman huolestuttavampaa on kuitenkin se, että ensimmäisessä alakohdassa hyvin moni kokelas väitti ratkaisun olevan $x=3{,}5$, eli neliöjuuren ottamisen sijaan jaettiin kahdella.

Nämä kaikki ongelmat ovat samaa olemusta, eli ei eroteta sitä, että kertolasku ja yhteenlasku eivät ole sama. Jos lausekkeita ei juurikaan joudu käsittelemään itse, vaan jos monesti riittää lausekkeen syöttäminen ohjelmistoon ja Ratkaise-komennon syöttäminen, niin tuntumaa siihen, mistä oikeasti on kyse, ei välttämättä muodostu, eli mitä esimerkiksi pitäisi tehdä, jos yhtälössä on molemmilla puolilla termejä, joissa $x$ on korotettuna viidenteen potenssiin: Pitäisikö nämä vähentää toisistaan? Mitä tehdään eksponenteille? Kerrotaanko ne keskenään?

Ongelmat eksponenttien kanssa näkyvät myös sellaisissa tehtävissä, joissa pitäisi olla jotain verrantoja esimerkiksi pinta-alaan tai tilavuuteen liittyen, mutta tehtävää onkin käsitelty lineaarisesti. Tämä johtaakin seuraavaan tapaukseen, eli syksyn 2019 verrantotehtävään.

Syksy 2019, lyhyen matematiikan tehtävä 12

Suureiden suhteet.

1. Tasapaksusta marmeladilevystä leikataan herkkupaloja isolla ja pienellä ympyränmuotoisella muotilla. Ison muotin halkaisija on kaksi kertaa niin suuri kuin pienen. Namuska on tottunut syömään kolme isoa marmeladipalaa. Kuinka monta pientä palaa hänen pitäisi syödä saadakseen yhtä paljon marmeladia? (4 p.)
2. Lassi Lounastaja on tottunut syömään lounaallaan kaksi isoa perunaa. Eräänä päivänä tarjolla on pieniä perunoita, joiden halkaisija on vain $60%$ prosenttia ison perunan halkaisijasta. Kaikki perunat ovat yhdenmuotoisia. Kuinka monta pikkuperunaa Lassin pitäisi syödä saadakseen saman verran perunaa? (6 p.)
3. Erään musiikkikappaleen esittämiseen kuluu 40-henkiseltä kuorolta 7 minuuttia ja 40 sekuntia. Eräässä esityksessä kolme kuoron jäsentä on flunssan takia poissa. Kuinka kauan tämän kappaleen esittämiseen kuluu 37-henkiseltä kuorolta? (2 p.)

Tämän tehtävän keskiarvo oli $1{,}9$ pistettä. Tehtävää yritti $87%$ sillä kertaa lyhyen matematiikan kokeeseen osallistuneista kokelaista. Lähes puolet ($48{,}8%$) tehtävää yrittäneistä kokelaista jäi nollaan pisteeseen.

Tehtävän kolmannesta kohdasta keskusteltiin paljon: mitä kuorokappaleen pituudelle tapahtuu? Paljon vähemmälle huomiolle jäivät ensimmäiset kaksi kohtaa, ja erityisesti koko kokonaisuuden punainen lanka. Ensimmäisessä kohdassa oli kyseessä neliöllinen verranto, toisessa kuutiollinen, kun taas kolmannessa kohdassa verranto oli nollanteen potenssiin. Hyvin tyypillisessä kokelasratkaisuissa jokainen kohta oli laskettu lineaarisena. Ymmärrys siitä, mitä kappaleen tilavuudelle tai kaksiulotteiselle pinta-alalle tapahtuu skaalatessa, oli monelta täysin hukassa.

Jos peruslaskutaito olisi sillä tasolla, että ymmärrettäisiin, että $x^2$ ei ole sama kuin $2x$ ja että $x^2\cdot x=x^3$, eikä esimerkiksi $2x\cdot x=3x$, tämä varmasti auttaisi myös tyypillisten mallinnusten tekemisessä.

Myös pitkässä matematiikassa on skaala välillä melko hukassa. Kevään 2021 tehtävässä 6 kellarimestari halusi tehdä vahvempia maustekastikkeita. Tässä tehtävässä oli oleellista ymmärtää pinta-alan ja tilavuuden skaalan ero. Moni ratkaisu ei kuitenkaan edennyt kovin pitkälle.

Kevät 2022, lyhyen matematiikan tehtävä 12

Myyntitulojen maksimointi. Tuotteen nykyinen hinta on 60 euroa. Kauppias arvioi, että tällä hinnalla tuotetta myydään 1 000 kappaletta. Myyntituloja kasvattaakseen kauppias päättää muuttaa tuotteen hintaa. Vastaavan tuotteen myynnistä kertyneen kokemuksen perusteella kauppias arvioi, että jokainen euro, jolla tuotteen hinta nousee, vähentää myyntiä kymmenellä kappaleella. Vastaavasti jokainen euro, jolla tuotteen hintaa laskee, kasvattaa myyntiä kymmenellä kappaleella.

1. Kuinka suuret myyntitulot ovat, jos tuotteen hinta on 55 euroa? (2 p.)
2. Muodosta myyntituloja mallintava funktio $f(x)$, kun $x$ on tuotteen hinnan muutos, ja laske sen derivaatta $f'(x)$. (5 p.)
3. Määritä se tuotteen hinta, jolla saadaan suurimmat mahdolliset myyntitulot. (5 p.)

Tämän tehtävän keskiarvo oli $3{,}0$ ja tyyppiarvo $2$ pistettä. Kaksi pistettä sai jo ensimmäisen alakohdan mekaanisella laskulla. Tässä tehtävässä olisi ollut ohjelmistoista merkittävää hyötyä. Niillä olisi voinut laskea derivaatan ja myös määrittää maksimin kolmannessa kohdassa. Ongelmaksi tulikin se, että hyvin moni kokelas ei osannut määrittää myyntituloja mallintavaa funktiota $f$ oikein. Tehtävänannon antamaa riippuvutta myyntihinnan ja myytävän kappalemäärän välille ei ymmärretty. Tähän ehkä tiivistyvät ne ongelmat, joita tulee, jos perusosaaminen kärsii. Vaikka ohjelmistoista olisi hyötyä ja niitä voisi käyttää mielekkäällä tavalla, ei ole mitään mitä ohjelmistolla voisi tehdä.

Johtopäätöksenä toteaisin, että sillä osaamisella, mitä A-osassa mitataan, on arvoa myös A-osan ulkopuolella, sillä harvoin ohjelmistoja voi käyttää ymmärtämättä kovin hyvin sitä, mistä tilanteessa on kyse. Ohjelmistoilla on arvonsa monessa paikassa, kuten kokeilujen tekemisessä, hankalien teknisten yksityiskohtien käsittelyssä, isojen aineistojen käsittelyssä ja esimerkiksi työläiden laskujen tekemisessä. Ne eivät kuitenkaan korvaa matemaattista ymmärrystä.

---

Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista