Joulupaketin sitomisesta ja kultaisesta leikkauksesta

Joulupaketin sitominen siten, että nauha kulkee viistosti kuvan 1 mukaisesti on tunnetusti tehtävä huolellisesti, jotta nauha ei pääse löystymään. Tarkastelemme seuraavassa, miten tämä sitominen on tehtävä. Olkoon suorakulmaisen särmiön muotoisen paketin särmät koko järjestyksessä $a,\ b\ \mathrm{\mathrm{ja}}\ c\ \ (a\geq\ b\geq\ c)$. Kuvassa 2 on paketti sivut levitettyinä auki. Sivu A on paketin etusivu, A2 on takasivu, A’ on etusivun peilikuva (jossa siis näkyy etusivun ylä­reunassa oleva nauhan kulku). Vastaavasti A2’ on takasivun A2 peilikuva. Jotta nauha ei pääsisi löystymään, pitää nauhan muodostaa tässä levityskuvassa janan lähtöpisteestä (kohdasta x ) samaan kohtaan sivulla A. Nauha tässä levityskuvassa ei siis saa olla muodostunut paloittain erisuuntaisista janoista. Kulmalle, jonka tämä nauha muodostaa paketin särmän kanssa, pätee kuvan 2 perusteella:

$$\tan{\alpha}=\ \frac{b+c}{a+c}  \; \; \; \; (1)$$

Toisin sanoen suuntakulma, joka takaa nauhan pysymisen kireänä, määräytyy paketin sivujen mitoista. Esimerkiksi, jos $a:b:c=4:2:1$, on nauhan suuntakulman oltava $\alpha=\ \tan^{-1}{\left(3/5\right)}=31°$. Yhtälöstä (1) näemme myös, että suuntakulman suurin mahdollinen arvo on 45 °, mikä toteutuu tapauksessa $b=a$.

Suuntakulma on siis yksikäsitteisesti määrätty paketin mittasuhteista, mutta kohta $x$, jossa nauha tulee paketin etusivulle, ei ole yksikäsitteinen, vaan sitä voidaan tietyissä rajoissa säätää. Kuvasta 2. näemme, että on oltava

$$\left(x+c\right)\ \tan{\alpha}<b  \; \; \; \; (2)$$

jotta tämä viistomainen paketin sitomistyyli olisi mahdollinen (eli, että nauha ei ”putoa” paketin kulman yli). Sijoittamalla tähän yhtälö (1) saamme ehdon, että

$$x<\frac{ab-c^2}{b+c}  \; \; \; \; (3)$$

Kun $b\in\left[c,a\right]$, pätee

$$f\left(b\right)=\ \frac{ab-c^2}{b+c}=a-\frac{a+c}{b+c}\ c\ \le\ a-c  \; \; \; \; (4)$$

Jossa yhtäsuuruus pätee tapauksessa, jossa kaksi pisintä sivua ovat yhtä pitkiä, $b=a$ (eli suurin sivu on neliö). Toisaalta

$$f\left(b\right)=\ \frac{ab-c^2}{b+c}=a\ \frac{b}{b+c}-c\ \frac{c}{b+c}\ \ \geq\frac{a}{2}\ -c\ \frac{c}{b+c}\geq\ \frac{a-c}{2}    \; \; \; \;    (5)$$

Jossa yhtäsuuruus pätee taasen, kun kaksi lyhyintä särmää ovat yhtä pitkiä, $b=c$ (eli, että pienin sivu on muodoltaan neliö). Yhteensä siis

$$\frac{a-c}{2}\le\ \frac{ab-c^2}{b+c}\le\ a-c  \; \; \; \; (6) $$

Yhtälöön (6) päätyy myös derivoimalla funktion $f\left(b\right)$ ja toteamalla funktion olevan monotonisesti kasvava funktio välillä $\left[c,a\right]$ ja funktion saadessa välin päätepisteissä yhtälön (6) antamat minimi ja maksimiarvot. Yhtälö (6) kertoo siis, että suurin mahdollinen arvo nauhan sijoituskohdalle x vaihtelee välillä $\left[\frac{a-c}{2},a-c\right]$ riippuen b:n arvosta välillä $\left[c,a\right]$.

Yhtälöstä (6), tai yhtä hyvin yhtälöstä (3), näkee sen, että kuution muotoiselle paketille $(a=b=c)$ tämä viistomainen paketin sitominen ei ole mahdollista.

Jos halutaan sellainen symmetria, että nauha jakaa kummatkin särmät $a$ ja $b$ samassa suhteessa, eli että

$$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}     \; \; \; \;    (7)$$

Tällöin

$$\frac{b}{a}=\frac{y}{x}=\ \tan{\alpha}=\ \frac{b+c}{a+c}    \; \; \; \;    (8)$$

yhtälön (1) perusteella. Yhtälöstä (8) havaitaan, että tämä symmetrinen muoto ei onnistu mielivaltaiselle paketille, vaan ainoastaan paketille, jolle $a=b$, eli etusivultaan neliömäiselle paketille. Yhtälön (8) perusteella nauha muodostaa tässä tapauksessa etusivun särmien kanssa kulman $\alpha=\tan^{-1}{1}=\ 45°$.

Palataan takaisin yleiseen tapaukseen. Esteettisesti kaunein paketti saataisiin, jos nauha jakaisi pisimmän sivun kultaisen leikkauksen suhteessa, eli että

$$\frac{a}{a-x}=\ \frac{a-x}{x}    \; \; \; \;   (9)$$

Tämä johtaa tunnetusti toisen asteen yhtälöön, jonka välillä $0<x<a$ oleva ratkaisu on

$$x=\ \frac{3-\sqrt5}{2}\ a\approx0,382\ a  \; \; \; \; (10)$$   

Pidempi osa sivusta on tällöin

$$a-x=\ \frac{\sqrt5-1}{2}\ a\approx0,618\ a    \; \; \; \; (11)$$

Sijoittamalla yhtälön (10) yhtälöön (3) saamme ehdon paketin mitoille, joille tämä kultainen leikkaus on mahdollinen

$$\left(\sqrt5-1\right)ab-\left(3-\sqrt5\right)ac>\ 2c^2      \; \; \; \;     (12)$$

Skaalaamalla sivut b ja c pisimmällä sivulla a, eli käyttämällä muuttujia $\beta=b/a$ ja $\gamma=c/a$, saamme yhtälön (12) muotoon

$$\beta>\ \frac{\sqrt5+1}{2}\gamma\left(\gamma+\frac{3-\sqrt5}{2}\right)       \; \; \; \;        (13)$$

eli yhtälö kuvaa γβ-tasossa ylöspäin avautuvaa paraabelia. Kuvassa 3 viivoitettu alue kertoo, missä skaalattujen paketin mittojen (βγ) alueessa tämä kultaisen leikkauksen mukainen nauhan sijoittelu on mahdollinen.

Kuva 3. Kultaisen leikkauksen mahdollistavat paketin mittasuhteet

Aluetta rajaa suorat $\gamma=0$, $\beta=1$ ja $\gamma=\beta$ sekä yhtälön (13) määräämä paraabeli. Kohdan, missä paraabeli kohtaa suoran $\beta=1$, saa laskettua sijoittamalla epäyhtälöä (13) vastaavaan yhtälöön arvon $\beta=1$ ja ratkaisemalla saadun toisen asteen yhtälön positiivisen ratkaisun. Ratkaisuksi tulee skaalamattomien mittojen $b$ ja $c$ avulla

$$\ c<\ \frac{\sqrt5-1}{2}\ a\ \approx0,618\ a  \; \; \; \; (14)$$

jossa siis $b=a$.

Vastaavasti kohdan, missä paraabeli kohtaa suoran $\gamma=\beta$ saa ratkaistua sijoittamalla epäyhtälöä (13) vastaavaan yhtälöön arvon $\beta=\gamma$ ja ratkaisemalla nollasta poikkeavan juuren. Tästä saadaan tulos

$$b=\ c<\ \left(\sqrt5-2\right)\ a\ \approx0,236\ a         \; \; \; \;    (15)$$