Pallogeometrian perushahmotusta, osa 5

Opetus

5.6.2019

Pallopinta on kaksiulotteinen. Pisteen paikan ilmoittamiseen tarvitaan niin ollen vain kaksi koordinaattia.

Koordinaattien määrittelyn apuna voidaan käyttää tavallista suorakulmaista $xyz$-koordinaatistoa. Kiinnitetään sen origo pallon keskipisteeseen. $Xy$-tasossa oleva isoympyrä vastaa tällöin maapallon päiväntasaajaa ja $xz$-tasossa oleva isoympyrä nollameridiaania (Greenwichin pituuspiiriä). Tason suorakulmaisia koordinaatteja vastaisivat näennäisesti parhaiten päiväntasaajatason suuntaisessa tasossa olevan pikkuympyrän nollameridiaanista mitatun kaaren pituus (punainen kaari) ja päiväntasaajasta mitattu palloetäisyys (sininen kaari).

Pallokoordinaatit on kuitenkin totuttu vanhastaan määrittelemään kulmina. Se on järkevää siksikin, että koordinaatit toimivat silloin pallon koosta riippumatta. Pisteen $P$ pallokoordinaatit on helpointa mieltää $P$:n $xy$-tasolla olevan projektion $P’$ avulla. Toinen koordinaatti on $x$-akselin ja janan $OP’$ välinen kulma $\varphi$ (fii). Se on samalla $xz$-tason (nollameridiaanitason) sekä $P$:n ja $z$-akselin määrittämän tason ($P$:n pituuspiirin) välinen kulma.

Toinen koordinaatti on janojen $OP$ ja $OP’$ välinen kulma $\theta$ (theta). Radiaaneissa lausuttuna se on mittaluvultaan sama kuin $P$:n palloetäisyys päiväntasaajasta (leveyspiiri). Tavallisesti tunnuksena käytetään thetan toista kirjoitustapaa $\vartheta$, mutta sitä merkkiä ei Geogebrassa ole kulman nimeämistä varten. – Kulmat ilmoitetaan nykyään tavallisimmin välillä $[-\pi,\pi]$, vaikka vanhempaakin tapaa $[0,2\pi]$ käytetään edelleen.

Näin määritelty ($\varphi$, $\vartheta$)-pallokoordinaatisto vastaa ajattelutapaa, jota käytetään pituus- ja leveyspiireihin perustuvassa maantieteellisessä paikanmäärityksessä. Silloin kuitenkin kulmat ilmoitetaan asteissa ja puhutaan itäisestä tai läntisestä pituudesta sekä pohjoisesta tai eteläisestä leveydestä. Esimerkiksi Jyväskylän koordinaatit ovat (24,94°, 60,17°), pituusaste ensin mainittuna, radiaaneissa (0,435, 1,050). Pallokoordinaattien ja maantieteellisten koordinaattien eroista saat tarkempaa tietoa Maiju Kohosen pro gradu -tutkielmasta Pallotrigonometriaa: pallokolmio osoitteesta http://tampub.uta.fi/handle/10024/99464.

Samantapaisia pallokoordinaatteja käytetään taivaankappaleiden sijaintia ilmoitettaessa. Koordinaatit riippuvat siitä, mihin koordinaatisto on kiinnitetty. On useita vaihtoehtoja [1]. Koordinaateilla on omia erikoisnimityksiään, esimerkiksi ekvatoriaalisen järjestelmän $\varphi$-koordinaattia sanotaan rektaskensioksi ja $\vartheta$-koordinaattia deklinaatioksi. Esimerkiksi pohjantähden deklinaatio (”tähtitieteellinen leveys”) on +89,32°, siis hyvin lähellä taivaannapaa.

Pallokoordinaattien kanssa pitää olla muutenkin tarkkana, sillä kirjallisuudessa on käytetty useita muita kuin edellä esitettyä ($\varphi$, $\vartheta$)-koordinaatistoa. Toisena koordinaattina voidaan käyttää $\vartheta$:n komplementtikulmaa eli siis $z$-akselin ja janan $OP$ välistä kulmaa; siis asteissa $(\varphi, 90°–\vartheta)$ ja radiaaneissa $(\varphi,\frac{\pi}{2}–\vartheta)$. Koordinaatit voidaan ilmoittaa myös toisessa järjestyksessä, siis $(\vartheta,\varphi)$. Tarkempia yksityiskohtia saat esimerkiksi Simo Kivelän kirjasta M niin kuin matematiikka [2] tai Wolfram Alphan sivuilta [3].