Totuudesta ja matematiikanopetuksesta
Viime vuosina on puhuttu paljon totuuden jälkeisestä ajasta. Onko kyse vain poliittisesta puheesta vai onko ilmiö yleisempi? Tilastomatemaattinen tutkimus paljasti mediailmaston muutoksen alkaneen jo vuosikymmeniä sitten. Pitäisikö matematiikanopetuksessa käsitellä nykyään myös matemaattisen tiedon luonnetta eikä vain opettaa matemaattista tietoa?
Ilmiötä voidaan tarkastella monesta näkökulmasta. Mitä totuus yleensäkään on? Millaista on totuus matematiikassa? Onko totuuden kokemus erilainen matemaatikolle tai muulle tieteentekijälle kuin tavalliselle kansalaiselle? Mielikuva totuudesta matematiikassa muodostuu lähinnä kouluopetuksen (koulumatematiikan) kautta. Toisaalta: voiko matematiikka auttaa ymmärtämään totuuden asemassa tapahtunutta muutosta tai ainakin konkretisoimaan sitä, mistä muutoksessa on kyse?
Matematiikanopetuksen luonne
Totuuden aseman ymmärtämiseksi matematiikassa on tarpeen katsoa matematiikan luonnetta ja merkitystä laajemmin kuin tavanomaisesti tehdään koulumatematiikasta keskusteltaessa. Tällaisen tarkastelun ohuutta tai jopa puutetta heijastelee mielestäni se, että joskus kysytään, miksi matematiikkaa opetetaan koulussa, miksi sillä on niin suuri painoarvo opiskelijavalinnoissa tai mihin jotain tiettyä matematiikan asiaa tarvitaan. Viimeksi mainitun kysymyksen esittävät usein oppilaat, mutta vastaus ei ole aina selvä opettajallekaan.
Koulumatematiikka on parhaimmillaan ja innostavimmillaan keksimistä, tutkimista ja keskustelua. Sellaista matematiikan oppiminen on usein ensimmäisinä kouluvuosina, mutta voisi olla myös myöhemminkin. Silloin matematiikan oppiminen muistuttaisi enemmän sitä, jollaiseksi matemaatikko Aatos Lahtinen matematiikkaa luonnehtii: ”Matematiikka on uutta luova, kumulatiivinen tiede, joka tutkii abstrakteja loogisia rakennelmia.” [1] Myöhempinä kouluvuosina ja korkeakoulujen perusopetuksessa korostuu kuitenkin usein edelleen laskeminen ja opiskelun perusteleminen hyödyllisyydellä: ”Tätä tarvitset tulevaisuudessa.”
Samassa esitelmässään Lahtinen puuttui tähän matematiikan opettamisen juurisyyhyn sanomalla: ”Matematiikka on muiden tieteiden ja teollistuneen yhteiskunnan erittäin hyödyllinen, suorastaan välttämätön työkalu.” Hyötynäkökohdan korostaminen on merkinnyt osaltaan sitä, että aina ei ole pidetty tarpeellisena huolehtia riittävästi oppimisen emotionaalisesta puolesta, motivoinnista, vaan matematiikkaa on tyrkytetty pakkopullana, painottaen menetelmällistä tietoa käsitteellisen ymmärryksen sijasta.
Ulkoa opettelu on ollut vanhastaan matematiikan oppimisen päämenetelmä. Ei kouluoppimisen pitänytkään olla hauskaa tai innostavaa. Sitä kuvaa hyvin se, mitä kerrotaan esimerkiksi 1700-luvun ruotsalaisen matemaatikon Samuel Klingenstiernan suhtautumisesta lahjattomiin ja geometriaa vain velvollisuudesta opiskelevien oppilaidensa opettamiseen: hän ”odotti kellonlyömää, jolloin hän pääsisi kärsimyksestään ja pääsisi näkemästä niiden kärsimystä, jotka vailla intoa ja lahjoja vaivaantuneina kuuntelivat sitä, jota hän vastenmielisesti yritti tulkita heille, jotka vain haaveilivat päivästä, jolloin saisivat tuon unohtaa.” [2]
Kaameaa, mutta totta, jos ei nyt enää 2000-luvulla, niin ainakin osittain vielä 1900-luvulla. Ehkä tällainen asenne saattoi toimiakin silloin, kun piti opettaa laskutaitoja, joita oppilaat tarvitsivat työelämässään ja käyttivät opetettujen sääntöjen mukaisesti, eikä matematiikan oppimiseen ollut muuta syytä. Tietysti täytyy tunnustaa, että aina on ollut myös erinomaisia matematiikan opettajia, jotka ovat saaneet matematiikan elämään ja oppilaat ajattelemaan omilla aivoillaan.
Nykyään tilanne on toinen. Matematiikka on osa yleissivistystä. Vaikka on totta, että matematiikka on tarpeellista ja hyödyllistä, jopa välttämätöntä yhä useammilla opiskelu- ja työaloilla, niin ulkoinen hyödyllisyys ei ehkä sittenkään ole ensisijainen syy opettaa matematiikkaa koko ikäluokalle. Varsinainen tarve tulee matematiikan kulttuurisesta merkityksestä. Matematiikka on avain modernin maailman ymmärtämiseen. Sillä on nykyisessä yhteiskunnassa samanlainen asema kuin lukutaidolla. Se on ihmisoikeus, joka mahdollistaa yksilön älyllisen kehittymisen ja kouluttautumisen.
Kohti totuudenjälkeistä
Esimerkkinä maailmanmenon, nykykulttuurin, ymmärtämisestä voimme tarkastella tietoa ja totuutta sekä väärää tietoa, jota levitetään tahattomasti (misinformaatio) tai tahallisesti (disinformaatio) [3]. Totuus sinänsä on laaja tiedon luonnetta koskeva filosofinen kysymys [4]. Tiedon avoimen saatavuuden lisääminen on ollut viime vuosina yleisesti hyväksytty tavoite, esimerkkeinä open access -julkaiseminen [5] ja UNESCOn Open Educational Resources -suositus vuodelta 2019 [6].
Disinformaatio, väärän tiedon levittäminen, ei ole nykyään enää häpeällistä eikä salavihkaista poliittista vaikuttamista, vaan siihen saattaa syyllistyä myös valtiollinen media, kun halutaan pimittää totuus omilta kansalaisilta. Julkisen tiedon laatu on alkanut kuitenkin muuttua jo 1980-luvulta lähtien. Tämä on ollut tarkkaavaisen median kuluttajan havaittavissa, mutta suhteellisen tuore tutkimus paljastaa, miten nopeaa ja jyrkkää muutos on ollut (kuva 1). [7], [8]
Ja mikäpä muukaan tässä auttaa kuin tilastomatematiikka. Indikaattorina on muutamien joko järkeen tai tunteeseen vetoavien sanojen esiintyminen; ensinmainittuja ovat analyysi, data, raja-arvo, tulos, määritellä, järjestelmä, koko ja prosentti sekä jälkimmäisiä kuvitella, viisaus, mieli, luulla, uskoa, todellisuus, tuntea, vaistota ja facebook [9]. Tulos pohjautuu miljoonien kirjojen sanaston analysoimiseen. Erityisen jyrkkä muutos on ollut sosiaalisen median kielenkäytössä tällä vuosituhannella.
Tämä esimerkki osoittaa, että totuuden luonne julkisessa kielenkäytössä on ollut muuttumassa perusteltavissa olevista tosiasioista mielipiteiden suuntaan jo pitkään, siis jo ennen brexitiä tai Donald Trumpin presidenttikampanjaa.
Totuus ja matematiikka
Mitä sitten tulee itseensä matematiikkaan, niin usein ajatellaan sen sisällä totuudella olevan toinen asema ja merkitys kuin tuskin millään muulla inhimillisen tiedon alalla filosofiaa ja logiikkaa lukuunottamatta. Onpa sellainenkin ajatussuuntaus – logisismi – joka pitää logiikkaa matematiikan perustana ja ehkä enemmänkin: matematiikkaa logiikan osa-alueena [10]. Tätä perustellaan sillä, että yhtäältä matemaattiset käsitteet voidaan johtaa logiikan käsitteistä eksplisiittisten määritelmien kautta ja toisaalta sillä, että matemaattiset lauseet voidaan johtaa logiikan aksioomista puhtaalla loogisella deduktiolla. Tähän perustuu myös se totuushybris, joka ilmenee esimerkiksi lausumassa ”me matemaatikot sen sijaan voimme väittää, että meillä on ikuinen totuus” [11].
Tällä tavalla ajatellen totuudella on erityinen asema matematiikassa. Juuri tätä varmuutta pidetäänkin tunnusomaisena matematiikalle. Esimerkiksi tasogeometriassa kolmion kulmasumma on aina 180o. Samoin se, että $\sqrt2$ on irrationaaliluku, toisin sanoen sitä ei voi esittää murtolukuna. Matematiikassa perustelu, todistus, on totuuden välttämätön tunnusmerkki. Todistuksen on lisäksi oltava toisen päättelijän ymmärrettävissä ja hyväksyttävissä, toisin sanoen toisen päättelijän on tultava päättelyssään samaan tulokseen.
Joskus päättelyn seuraaminen saattaa kuitenkin olla hyvinkin vaikeaa tai ainakin työlästä. Esimerkki tällaisesta on nelivärilause. Sille esitettiin erilaisia todistuksia 150 vuoden aikana, mutta aina niistä löydettiin virheitä. Ensimmäinen pätevä todistus tehtiin vuonna 1976 tietokoneen avulla jakamalla tehtävä 1936 osaan ja todistamalla jokainen tapaus erikseen. Kesti 20 vuotta ennen kuin tiedeyhteisö hyväksyi todistuksen. Tapauksia on myöhemmin voitu yhdistellä, mutta niitä edelleenkin enemmän kuin 600. [12], [13]
Toinen tyyppi matemaattisesta totuudesta on, että voidaan esittää suhteellisen yksinkertainen väite – hypoteesi, otaksuma – joka näyttää todelta esimerkkien valossa, mutta jolle ei ole löydetty todistusta eikä toisaalta vastaesimerkkiäkään. Tällainen on esimerkiksi yhteen-, vähennys- ja kertolaskuilla muodostettavia, positiivisista kokonaisluvuista koostuvia jonoja koskeva Collatzin otaksuma [14]. Kysymys on ollut avoin 85 vuoden ajan. Lähes sata miljoonaa dekiljoonaa (268) lukua on tutkittu [15]. Kaikki ovat noudattaneet otaksumaa eikä yhtään vastaesimerkkiä ole löydetty (kuva 2). Tiukan loogisessa mielessä ei silti kuitenkaan tiedetä, onko otaksuma totta, koska todistusta ei ole. Totta tai ei, uskottavalta se kuitenkin siis vaikuttaa.
Lopullisesti logisistisen pohjan matematiikalta vei Kurt Gödel 1930-luvulla osoittaessaan, että kaikissa ristiriidattomissa luonnollisten lukujen teorian sisältävissä formaaleissa systeemeissä voidaan muodostaa lauseita, joita ei voida todistaa tosiksi eikä epätosiksi kyseisen systeemin sisällä [17]. Näin ollen voidaan ehkä kysyä, onko totuus matematiikassa paljonkaan vahvemmalla pohjalla kuin muissakaan tieteissä tai arkielämässä. Totuus vaatii sielläkin sen, että yhteisö hyväksyy sen totuudeksi. Matematiikassa ja muuallakaan ”yksityinen tieto, omat kokemukset ja valmiudet eivät – – ole tieteellistä tietoa” [18] eli totta, jos niitä ei voida perustella muulla kuin omilla tuntemuksilla. Onneksi matematiikkaa ja totuutta voidaan tarkastella myös monesta muustakin kuin logisistisesta näkökulmasta [4].
Lähteitä ja lisää lukemista
[1] Lahtinen, Aatos: Mitä matematiikka on. Esitelmä Luonnonfilosofian seuran kokouksessa 17.4.2018. Saatavissa osoitteesta http://www.protsv.fi/lfs/luennot/2018_Lahtinen.pdf
[2] Pekonen, Osmo ja Stén, Johan: Valon aika, s. 88. Art House 2019.
[3] Eväitä opiskeluun. Mis- ja disinformaatio. Osoitteessa https://evaitaopiskeluun.fi/tiedonlahteet/mis-ja-disinformaatio/
[4] Raatikainen, Panu: Totuusteoriat. Sivustolla Filosofia.fi (2020). Saatavissa osoitteesta https://filosofia.fi/fi/ensyklopedia/totuusteoriat
[5] Wikipedia-artikkeli Avoin saatavuus osoitteessa https://fi.wikipedia.org/wiki/Avoin_saatavuus
[6] UNESCO. Open Education Resouces. Osoitteessa https://www.unesco.org/en/communication-information/open-solutions/open-educational-resources
[7] ’We conclude’ or ’I believe?’ Study finds rationality declined decades ago. Wageningen University (2022). https://phys.org/news/2022-01-rationality-declined-decades.html
[8] Marten Scheffer, Martin; van de Leemput, Ingrid; Weinans, Els ja Bollen Johan: The rise and fall of rationality in language. Proceedings of the National Academy of Sciences (2021) osoitteessa https://www.pnas.org/doi/10.1073/pnas.2107848118
[9] Kuvassa esiintyvien sanojen suomalaiset käännökset Helsingin Sanomien artikkelista Tunne syrjäytti järjen kielenkäytössä – muutos näkyy tutkijan mukaan sekä tietokirjoissa että kaunokirjallisuudessa. Kirsi Heikkinen 22.3.2022. Saatavissa osoitteesta https://www.hs.fi/tiede/art-2000008619033.html
[10] Wikipedia-artikkeli Matematiikan filosofia osoitteessa https://fi.wikipedia.org/wiki/Matematiikan_filosofia
[11] Haikala, Topias: Vain matemaatikot voivat olla varmoja, että heidän totuutensa ovat ikuisia – mutta varmuudella on karvas kääntöpuoli. Yliopisto-lehti 8/2021.
[12] Alegsa, Leandro: Nelivärionglema (2021). Saatavissa osoitteesta https://fi.alegsaonline.com/art/35884.
[13] Rogers, Rebecca M.: The Four Color Problem. The Journey to a Proof and the Results of the Study (2020). Saatavissa osoitteesta https://encompass.eku.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1756&context=honors_theses
[14] Korhonen, Hannu: Collatzin konjektuuri. Dimensio, 15.2.2022, osoitteessa https://dimensiolehti.fi/helmikuun-pulmasivut-collatzin-konjektuuri/
[15] Honner, Patrick: The Simple Math Problem We Still Can’t Solve. Quanta Magazine (2020) osoitteessa https://www.quantamagazine.org/why-mathematicians-still-cant-solve-the-collatz-conjecture-20200922/
[16] Hartnett, Kevin: Mathematician Proves Huge Result on ‘Dangerous’ Problem. Quanta Magazine (2019) osoitteessa https://www.quantamagazine.org/mathematician-proves-huge-result-on-dangerous-problem-20191211/
[17] Pantsar, Markus: Mitä Gödelin epätäydellisyysteoreemoista voidaan päätellä filosofiassa? osoitteessa https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/325200/Pantsar_2011_Mit_G_delin_ep_t_ydellisyysteoreemoista_voidaan_p_tell_filosofiassa.pdf?sequence=1
[18] Anttila, Pirkko: Tutkimisen taito ja tiedon hankinta osoitteessa https://metodix.fi/2014/05/17/anttila-pirkko-tutkimisen-taito-ja-tiedon-hankinta/
Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista
