Ensimmäiset Integraalipäivät 16.-18.4.2021

Johdanto

Ensimmäistä kertaa järjestetyt Integraalipäivät (https://blogs.helsinki.fi/integraalipaivat/) olivat Suomen versio Ruotsissa järjestetyistä Kleindagareista. Integraalipäivät järjestettiin 16-18.4.2021 etäyhteyden välityksellä vallitsevan pandemiatilanteen takia. Tapahtuma kesti kolme päivää, joiden aikana tutustuimme neljään matematiikkaan liittyvään aiheeseen. Teemoja olivat valokuvat ja videot, fraktaalit, tartuntatautien matematiikka sekä verkot, kaarevuus ja verkkojen kaarevuus. Jokaisesta aiheesta pidettiin luento, jonka jälkeen pienissä ryhmissä keskustelimme, millaista opetussisältöä aiheesta voisi tuoda eri kouluasteille. Viikonlopun päätteeksi kokosimme ajatukset yhteen ja suunnittelimme niiden pohjalta valmiita oppituntipaketteja, joita voisi aiheesta riippuen hyödyntää peruskoulussa tai lukiossa.

Kuva 1. Taulukkolaskennalla on kätevä havainnollistaa valokuvan RGB-taulukkoa oppilaille. Kuvassa Tomasz Górny:n ottama kuva (CC BY-SA 4.0) seinälukista (Phalangium opilio) kun se on muutettu taulukoksi. Kuva on zoomattava, ja jokaisen pikselin intensiteetti on luettavissa. Pikseli on kolmessa päällekkäisessä solussa (R, G ja B), kuten digitaalikameran kennoissa ja kännykän näytöissä. Voit tehdä taulukon omista kuvista Matt Parkerin Pixel Spreadsheet -työkalulla osoitteessa http://think-maths.co.uk/spreadsheet. Taulukko ei avautunut Libre Officen taulukkolaskentaohjelmalla ja Excelkin valittaa, mutta toimii.

Uusia kokemuksia

Opiskelen tällä hetkellä kolmatta vuotta matematiikan opettajaksi Oulun yliopistossa ja sain tiedon tapahtumasta kiltamme sähköpostilistalta ja päätin hakea mukaan. Odotin tapahtumalta uusia näkökulmia matematiikkaan liittyen, materiaalin suunnittelua ja uusien ihmisten tapaamista.

Tapahtuma vastasi hyvin odotuksiani. Pääsimme viikonlopun aikana luentojen avulla oppimaan uusia asioita matematiikasta ja suunnittelemaan materiaalia luennoilla käsiteltyihin aiheisiin liittyen. Kaiken tämän ohessa pääsimme lisäksi tutustumaan toisiin matematiikan opettajiin ympäri Suomen ja keskustelemaan toistemme kanssa matematiikan opetukseen liittyvistä ajankohtaisista aiheista. Mielenkiintoisinta ja samalla yllättävintä tapahtumassa oli se, että miten moneen asiaan matematiikka oikeasti liittyykään ja miten näitä asioita opetukseen tuomalla voitaisiin saada matematiikka lähemmäs oppilaan tai opiskelijan elämää herättäen näin kiinnostusta kyseistä ainetta kohtaan. 

Koen saaneeni tapahtumalta paljon hyviä ideoita tulevaisuutta ajatellen. Näin opiskelijana oli mukava jutella tulevien kollegoiden kanssa ja kuulla heidän kokemuksiaan matematiikan opettajuudesta. Lisäksi opin paljon uutta viikonlopun aikana pidetyistä mielenkiintoisista luennoista.

Kokonaisuutena viikonloppu oli oikein hyvin järjestetty ja mielenkiintoinen etätapahtuma. Voin ehdottomasti suositella tulevaisuudessa järjestettäville Integraalipäiville osallistumista kaikille matematiikan opettajille ja matematiikan opettajaopiskelijoille.

– Viivi Aaltonen

Kuva 2. Tartuntaudit leviävät kuin kuppa, mutta agenttipohjaisilla simuloinneilla jo alakoululaisetkin saadaan mukaan tekemään mielenkiintoisia tutkimuksia (https://www.netlogoweb.org/launch#https://www.netlogoweb.org/assets/modelslib/Sample%20Models/Social%20Science/Traffic%20Basic.nlogo). Toisaalta lukiolaiset hyötyvät symbolisen laskennan eduista ja opeista. Kuvassa on SIR-mallia laskettu WxMaximan avulla. Pieniä käytännön ongelmia oli esimerkiksi rivillä %o5, jossa ohjelmisto ei osannut supistaa vakiota N pois eikä siirtää vakiota derivaatasta pois. Lopulta päätin brutaalisti jakaa vakion pois. Samaten plotdf-funktio ei hyväksy kreikkalaisia kirjaimia, joten ne piti muuttaa a:ksi ja b:ksi. Lisäksi parameters-käskyssä ei saa olla välilyöntejä. Kaikki käytetyt käskyt ovat kopioitavissa olevassa muodossa alla: https://docs.google.com/document/d/e/2PACX-1vQ60zo7KhpvlswuC049pQ2IbdGhiuMLa9Dz_62i76kWWZgADSECVMJs356ZartOih-cDQ61hjEFuW3w/pub

Huippuluokan etätapahtuma

Opetan kahdeksatta vuotta fysiikkaa ja matematiikkaa Rauman Lyseon lukiolla. Sain kutsun hakea Integraalipäiville ja päätin tarttua tilaisuuteen, vaikka en tiennytkään tapahtumasta juuri mitään. Koska vinkkaajana oli matematiikan monitoimija, apulaisprofessori ja aikanaan lukiolaisminälleni matematiikan olympiavalmennusta Päivölässä vetänyt Anne-Maria Ernvall-Hytönen, olin riittävän vakuuttunut tapahtuman olevan hyödyllistä ajankäyttöä.

Tapahtuman lähestyessä hahmottui, että tarkoituksena on kehittää toimivaa sisältöä oppitunneille aitoihin matematiikan tutkimukseen tai soveltamiseen liittyvien aiheiden pohjalta. Tämä nosti odotuksiani, koska opettajan työssä ei koskaan ole niin paljoa aikaa kuin voisi toivoa, jotta oppitunneille saisi huolellisesti mietittyä ja toimivaa rutiiniharjoittelusta poikkeavaa sisältöä.

Etäjärjestelyt aiheuttivat huolta, koska moni hyvä tapahtuma on etäaikana lässähtänyt ruudulla puhuvan pään yksintarinoinniksi. Integraalipäivät osoittautuivat tässä suhteessa erinomaiseksi poikkeukseksi. Tapahtuma oli rytmitetty riittävän lyhyisiin pätkiin, joissa vuoroteltiin luentojen ja pienryhmäpohdintojen välillä. Jokaisella osallistujalla oli koko ajan tiedossa, mitä oli tekeillä ja tavoitteena. Siten mielenkiinto pysyi yllä ja ainakin itse koin olevani tapahtuman onnistumisen kannalta tarpeellinen toimija enkä vain passiivinen katselija.

Tapahtuman aiheet ja etenkin niistä käyty keskustelu toivat uutta konkretiaa siihen, miten matematiikan tutkimukseen ja sovelluksiin liittyviä aiheita voi käsitellä eri kouluasteilla. Professori Samuli Siltasen esittelemät valokuvien ja videoiden käsittelyyn liittyvät matemaattiset menetelmät sopivat lähes mille luokka-asteelle tahansa, kun näkökulma valitaan tarkoituksenmukaisesti. Itsekin opin paljon uutta ja jäin ihmettelemään, kuinka niin yksinkertainen matematiikka on kuvankäsittelyohjelmissa saatu piilotettua niin vaikean käyttöliittymän taa. Alkoi tuntua paljon helpommalta vaihtoehdolta käyttää python-koodia vaikkapa häivytysten ja kuvien yhdistämisten tekemiseen kuin GIMP- tai Photoshop-ohjelmia.

Viikonloppu oli varsin antoisa ja etätapahtumana toki myös joustava. Silti toivon, että Integraalipäivät saadaan seuraavan kerran järjestettyä niin, että kokoonnutaan fyysisesti jonnekin. Siinä tulee vielä paljon enemmän mahdollisuuksia spontaaniin pieneen keskusteluun kahvitauoilla ja muun oheistoiminnan aikana, ja usein niissä syntyvät kaikkein parhaat ideat. Toivottavasti Integraalipäivät muodostuvat perinteeksi, jossa voin itsekin olla ainakin välillä mukana!

-Otso Huuska

Kuva 3. Fraktaalit ovat kaikille tuttuja, ja niitä on hauska piirrellä vaikka kuvankäsittelyohjelmalla. Kuvassa on rekursiivinen ja lähes itsesimilaarinen tekstipuu, joka on melko helppo rakentaa. Parempilaatuisempi video löytyy YouTubesta osoitteesta https://www.youtube.com/watch?v=3YO9JxB1WyA. Osaatko (ja pystytkö) rakentamaan ohjelmakoodin, joka tekee itsesimilaarin puun? Mikä ohjelmointikieli olisi kätevä?

Epämukavuusalueella

Heikolla hetkellä, pimeänä ja sateisena iltana löysin mainoksen Integraalipäivistä, ja ilmoittauduin sekaan. Tapahtuman koordinaattori, Neea Palojärvi, järjesti tapahtuman ja myös alkutiedottamisen hyvin. Aluksi minua ihmetytti, että miten voi tehdä hyvät tuntisuunnitelmat parissa tunnissa — siis todella nopeasti. Integraalipäivien ajatus on, että perjantaista sunnuntaihin kuunnellaan neljän suomalaisen tutkijan esitystä, joiden jälkeen jokaisesta keskustellaan ryhmissä ja vielä koko porukka yhdessä. Sunnuntai-illalla tehdään ryhmässä yhdestä aiheesta kouluun sopivat tuntisuunnitelmat.

Aluksi oudoksutti. Hämäläiseen luonteenperiaatteeseen ei kuulu puhuminen, eikä ajatuksista kertominen, vaikka olisit opettaja. Integraalipäivien ajatus kuulostaa jotenkin ruotsalaiselta: keskustellaan ja tullaan paremmiksi. Ruotsalaisilla heidän menetelmä toimii varsin hyvin; esimerkkejä naapurin huippusuorituksista on mm. Spotify, Abba tai Björn Borg. Länsinaapurissa vastaavia tapahtumia on pidetty jo kauan, ja niitä kutsutaan Felix Kleinin kunniaksi Kleindagarneiksi. Ennen koronaa ruotsalaiset kokoontuivat kolme kertaa vuodessa!

Perjantaina se alkoi matriisilaskennalla ja valokuvilla (Samuli Siltanen). Kuvien muokkaus Pythonilla herätti paljon keskustelua, ja aihe sopii hyvin yläkouluun tai lukioon kokeilevan matematiikan haaraan. Yhteen- ja vähennyslasku, kertolasku ja neliöjuuri, logaritmit ja derivaatta saavat havainnollisen merkityksen kuvissa. Keksitkö matemaattisen algoritmin Instagram-filtterin takaa? Lauantain ensimmäinen esitys fraktaalien matematiikasta (Maarit Järvenpää) lähti perinteisesti auringonkukista tai romanesco-salaatista Cantorin joukkoon ja Kochin käyrään. Kakeyan kuuluisa neulankääntöongelma vuodelta 1917 sai paljon huomiota. Fraktaalien mittateoria on monipuolinen matematiikan haara, emmekä kovin syvälle siihen ehtineet mennä, mutta selvästi fraktaalit sopivat kaikille luokka-asteille. Keskustelujen ja tauon jälkeen kuulimme perinteisellä tavalla tartuntatautien matematiikasta (Mats Gyllenberg). Matematiikassa kummallisinta on sen uskomaton selitysvoima joka ulottuu joka puolelle, mm. tartuntatauteihin. Miksi kaikki eivät sairastu epidemiaan? Mihin katosi malaria Suomesta ja miksi vihurirokko levisi 1970-luvulla? Kaikkiin näihin löytyy vastaus melko yksinkertaisesta differentiaaliyhtälöparista — täysin lukiokamaa. Sunnuntain esitys Verkot, kaarevuus ja verkkojen kaarevuus (Riikka Kangaslampi) laittoi minut muistelemaan sen tentti vaille valmiin graafiteorian kurssin asioita — taas. Mielenkiintoista asiaa. Kaarevuus määriteltiin ensin kolmion avulla: miten voit piirtää kolmion, jonka kaikki kulmat ovat 90o? Määritelmä yleistettiin piirtämällä pinnalle kaksi kiekkoa, ja tutkimalla niiden leikkausjoukkoa. Pallopinnalla leikkauspinta-ala on suurempi kuin hyperbolisella pinnalla. Tästä saadaan keksittyä mitta, ja mittaa käyttämällä kaarevuus pystytään yleistämään jatkuvasta avaruudesta diskreettiin eli verkkoihin. Aika kätevää! Aiheesta voi tehdä hyvinkin helppoja toiminnallisia alakoulun oppitunteja, tai todella vaikeita lukion abikurssin teematehtäviä.

Jokainen luento sai aikaan keskustelun, jonka koordinaattori sai sulkea jotta pysyisimme aikataulussa. Suomalaisetkin matematiikan opettajat osaavat puhua, keskustella ja ajatella yhdessä. Sunnuntai-illan ratoksi osallistujat jaettiin neljään ryhmään, ja jokainen ryhmä teki oppituntisuunnitelman. Ne oli tarkoitus pilotoida keväällä, mutta korona ja aurinko teki tepposet ainakin minulle. Syksyllä sitten. Integraalipäivien suurin ongelma oli kokouspullat ja -kahvit, jotka sai etänä itse keittää ja leipoa. Lounaan sai syödä kylmänä suoraan jääkaapista.

Tällaiselle yhteiselle tapaamiselle on tilausta ja tarvetta. Integraalipäivien soisi olevan useamminkin kuin kerran vuodessa, jotta kaikki pääsisivät mukaan. Internet on täynnä hyviä ja vielä parempia englanninkielisiä matematiikan esitelmiä, mutta suomalaisia tai suomenkielisiä on haastavampi löytää. On hyvä tietää että Suomessakin tehdään maailmanluokan tutkimusta ja että meidän yliopistoissa on ammattilaisia, jotka haluavat kertoa tutkimuksestaan opettajille.

-Markku Leino, Lumaatikko

Kuva 4. Königsbergin sillat on mukava toiminnallinen tehtävä jo alakoululaisille. Aseta vaikka neljä pulpettia kuvaamaan Königsbergin neljää eri maa-aluetta, ja merkitse pulpettien välille seitsemän polkua (siltaa, A–G) paikasta toiseen oheisen kuvan mukaisesti. Oppilaiden tehtävä on keksiä sellainen reitti, jota kulkemalla voitaisiin ylittää jokainen silta täsmälleen yhden kerran ja päätyä takaisin lähtöpisteeseen. Voit aloittaa mistä tahansa pulpetista (1–4).

Yleistä tietoa integraalipäivistä

Integraalipäivät (https://blogs.helsinki.fi/integraalipaivat/) on kahdesti vuodessa järjestettävä tapahtuma, jossa suunnitellaan matematiikan oppitunteja tutkijoiden pitämien matematiikan esitelmien pohjalta. Tapahtuman tavoitteena on materiaalin suunnittelun lisäksi (https://blogs.helsinki.fi/integraalipaivat/materiaali/) edesauttaa eri asteilla matematiikan parissa työskentelevien opettajien ja tutkijoiden sekä opiskelijoiden vuoropuhelua, saada uutta tietoa matematiikasta ja ideoita oppitunneille sekä viettää aikaa inspiroivassa seurassa. Mallia tapahtumaan on otettu Ruotsin Kleindagarneista. Ensimmäiset Integraalipäivät järjestettiin tämän vuoden huhtikuussa ja seuraavan kerran ne pidetään lokakuussa.

Kirjoittajat