Kirjallisuutta: Muoto

Jordan Ellenberger: Muoto: Aivan kaiken kätketty geometria. Terra Cognita. 2023, 472 s. 

Muoto on hämmentävä ja häikäisevä kirja. Välistä sen perusteelliset selitykset ja periamerikkalaisuus tuntuvat pitkästyttäviltä, mutta sitten pilkahtaa esiin ilonaiheita, asioita, joita et ole ymmärtänyt ennen konkreettista selitystä, tai asioita, joista et ole koskaan kuullutkaan, vaikka luulit tuntevasi matematiikkaa laajemmaltikin. 

Amerikkalaisuus näkyy yhtäältä vanhojen presidenttien Lincolnin ja Jeffersonin matematiikkaharrastusten kuvaamisesta ja toisaalta esimerkeissä vilahtelevista amerikkalaisista paikannimistä, esimerkiksi Morristown, Petal tai Oconomowoc, joista et ole varmaan koskaan kuullutkaan, sekä kirjan hakusanaluetteloonkin päässeistä poliittisista puliveivauksista, kuten vaalioikeudenkäynneistä ja vaalipiirien geometrisistä muodoista. 

Paljon vaivaa ja sivuja tekijä käyttää joidenkin pelien voittostrategioiden analysoimiseen. Mukana on yksinkertaisia pelejä, kuten nim tai ristinolla, tai vähän monimutkaisempia kuten tammi, joiden toiminta-avaruuden päätöspuun muodossa esitettävä geometria tunnetaan, vaikka esimerkiksi tammessa on yli 500 triljoonaa mahdollista tilannetta, ja monimutkaisempia pelejä, kuten šakki ja go, joille tällaista analyysia ei ole olemassa ja tuskin koskaan tulee olemaankaan.

Sitten pari esimerkkiä ilahduttavista löydöksistä. En ole tullut koskaan ajatelleeksi, että piin π voisi yleistää. Sehän on ympyrän kehän ja halkaisijan suhde riippumatta ympyrän koosta. On kuitenkin kuvioita, joissa vastaava ajattelutapa toimii, kunhan pituudet valitaan sopivasti. Myös neliöt ovat kaikki yhdenmuotoisia. Mikä olisi neliön ”pii”? Luontevin valinta on piirin ja lävistäjän suhde eli $2\sqrt{ 2}$. Vastaavasti säännöllisen kuusikulmion ”pii” on 3. Mille muille kuvioille ”pii” voidaan yleistää?

Toinen yllättävä ajatus on vektorin tulkitseminen verbiksi, koska se määrittelee toiminnan, yhdensuuntaisuussiirron. Kolmas minulle ennestään tuntematon asia olivat epäarkhimediset geometriat. Geometria voi pysyä euklidisena, vaikka luovutaan Arkhimedeen aksioomasta, toisin sanoen siitä, että janojen pituuksia voidaan verrata toisiinsa reaalilukuina. Ajatus on tuttu oikeille matemaatikoille, sillä esimerkiksi Matti Lehtinen on käsitellyt sitä Solmu-artikkelissaan Geometrian perusteita (2011, luettavissa https://matematiikkalehtisolmu.fi/2011/geometria2011.pdf) , mutta enpä ole nähnyt sellaisesta mitään vihjettäkään opettaessani koulumatematiikkaa vuosikymmeniä enkä muista sitä matematiikan perusopinnoistanikaan. 

Kirjan suomennos ei noudata kaikin osin koulumatematiikasta tuttua sanastoa. Esimerkiksi yhdenmuotoisuudesta käytetään sanaa similaarius ja yhdenmuotoisuuskuvauksesta vastaavasti similariteetti. Samoin yhtenevyydestä käytetään sanaa kongruenssi, vaikka sanastossa mainitaan yhtenevyyskin. Edelleen lukujen suuruudesta puhutaan epätavanomaisesti: ”Luku on suurempi, kun se on kauempana nollasta, ja pienempi, kun se on lähempänä nollaa. Positiiviset luvut pienenevät aletessaan, mutta negatiivisen luvun alentaminen suurentaa sitä.” Siis ikään kuin ajateltaisiin luvun itseisarvoa eikä niinkään itse lukua.

Tekijä on kirjansa lukenut, mitä todistaa yli neljänsadan lähdeteoksen luettelo. Aiheet painottuvat nykyaikaan. Tekijä esittelee ja selittää muun muassa neuroverkkoja, salausmenetelmiä ja koneoppimista. Kun yleistajuisissa neuroverkkoselityksissä käytetään useimmiten esimerkkinä kaksi- tai kolmitasoista mallia, jossa on kolmesta kymmeneen operaatiolaatikkoa, niin GPT-3:n neuroverkossa niitä on todellisuudessa 175 miljardia! 

Paljon on mainintoja tavanomaisen matematiikan ulkopuoleltakin. ABBAn šakkimusikaali mainitaan. Samoin esimerkkinä viestin salaamisesta kokeellinen runoteos Tender Buttons (suom. Markku Into: Herkät napit, Palladium 2014). Kulttuurisista yhteyksistä kannattaa ehkä vielä huomata Talking Heads -yhtyeen Brian Enon innostuminen Conwayn Elämän pelistä.

Kirjassa ei ole oikeastaan muuta yhteistä juonta kuin otsikkotermi geometria. Tekijä hakee geometrisia näkökulmia ja yhteyksiä monista sellaisistakin asioista, joita ei tavallisesti tarkastella geometrian kannalta. Tätä kuvaavat esimerkiksi väliotsikot ”Miten Google toimii” ja ”Soinnun nuotit”. Satunnaiskulkua käsitellään monessa yhteydessä, muun muassa koronaepidemian leviämistä tarkasteltaessa.

Kirjaan kannattaa tutustua, jos haluat laajentaa matematiikkakäsitystäsi ja -tietämystäsi. Sitä ei tarvitse ainakaan ensimmäisellä kerralla lukea kannesta kanteen, sillä käsikirjakäyttöä ja kiinnostavien aiheiden poimimista helpottaa 25-sivuinen asiasanasto.