Virheitä päin
Matematiikan opetuksen kansalliskomitean kolumni esittelee ajankohtaisia aiheita ja kansalliskomitean jäsenten ajatuksia matematiikan opetuksesta ja sen kehittämisestä. Kolumnia on myös mahdollista kommentoida ja siten saattaa uusia ideoita tietoomme. Osallistu keskusteluun somessa tai kirjoita jutulle vastine ja toimita se päätoimittajalle, jolloin tekstisi voidaan lisätä kommentiksi jutun loppuun tai julkaista uutena artikkelina. Tässä kolumnissa Riikka Palkki esittelee tarkoituksellisia virheitä, joita hän on tutkinut väitöskirjassaan.
Miksi virheitä?
”Matematiikka olisi mukavaa ilman virheitä”, totesi oppilas taannoin. Olisiko? Voiko oppimista todella tapahtua ilman virheitä? Olisiko se todella oppimista? Ja olisiko oppiminen edes mukavaa, jos välillä ei olisi vastoinkäymisiä?
Virheet nähdään jostain syystä negatiivisena asiana, vaikka ne ovat väistämätön osa matematiikkaa ja kaikkea oppimista. Itseasiassa virheitä pidetään jopa hävettävänä ja itseä uhkaavana (Steuer & Dresel, 2015). ”Pyyhitäänpä tämä virhe äkkiä pois”, sanoin joskus opettaessani yläkoululaisia. Tutkimuksiin perehtyessäni olen ymmärtänyt, että virheet ovat aarteita, joiden kautta voidaan päästä käsiksi oppilaan ajatteluun. Virheiden avulla nähdään, missä kohdassa oppimisprosessia ollaan menossa. Keino tähän on virheiden pohtiminen yhdessä oppilaiden kanssa. Keskustelu nimittäin edistää virheistä oppimista (Steuer & Dresel, 2015).
Opetussuunnitelma kannustaa arvioimaan, analysoimaan ja perustelemaan vastauksia, toisin sanoen tutkimaan mahdollisia virheitä. Esimerkiksi lukion opetussuunnitelmasta löytyy kohdat: ”Matematiikan opiskelu antaa opiskelijalle valmiudet ymmärtää, soveltaa ja tuottaa sekä arvioida matemaattisesti esitettyä tietoa” (LOPS 2019, s. 221). ”– harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla ja tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta, laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä” (LOPS 2019 s. 222). Virheellisen ratkaisun analysoimista on ollut myös ylioppilaskirjoitustehtävien joukossa.
Virheiden havaitseminen ja korjaaminen on itse asiassa tärkeä osa oppimaan oppimista ja metakognitiivisia taitoja. Näin ollen virheistä oppimista voi pitää itsenäisenä oppimistavoitteena. Virheitä ei tarvitsisi pelätä, vaan hyväksyä ne luonnollisena osana oppimista. Virheet ovat oppimisen ponnahduslautoja, jotka ohjaavat ymmärtämään niin esitietojen puutetta kuin ajatteluprosessia yleensäkin. Opettajalla on erinomainen tilaisuus näyttää esimerkkiä suhtautumalla sekä omiin että oppilaan virheisiin positiivisesti. Mutta miten virheitä voisi hyödyntää jopa tarkoituksella?
Tarkoitukselliset virheet – aina ei tarvitse oppia kantapään kautta
Joskus kuulee, että oppilaille ei saa näyttää virheitä esimerkiksi taululla. Pelätään, että ne voivat jäädä mieleen tai että virheet ”sekoittavat” oppilaita. Tarkoitus ei tietenkään olekaan opettamalla opettaa virheellistä tietoa, vaan selvittää ajattelunkulkua, miksi virheeseen on päädytty ja miten mahdollisen virheellisen esitiedon voisi oikaista.
Virheitä voidaan esittää tarkoituksella käyttäen yleisiä virhekäsityksiä. Tarkoituksellinen virhe on matematiikan tehtävän ratkaisuun upotettu tyypillinen virheellinen välivaihe (Palkki, 2022). Voidaan käyttää esimerkkiä, jossa tutkitaan rinnakkain virheellistä ja oikeaa ratkaisutapaa. Oppilaiden tulee selittää auki virhe ja korjata sen aiheuttanut virheellinen periaate oikeaksi. Tarkoituksellisia virheitä tutkimalla voi kehittää matematiikan osaamista, kuten esimerkiksi Yhdysvalloissa on selvitetty (Adams ym., 2014).
Virheitä voidaan pohtia ja selittää. Ehkä aina ei tarvitsekaan tehdä kaikkia virheitä itse, vaan riittää tutkia muiden virheitä!
Rinnakkain oikean ratkaisutavan kanssa
Tarkoituksellisia virheitä – kuten muitakaan opetusmenetelmiä – ei luonnollisesti tarvitse käyttää koko ajan ja kaikissa tilanteissa, mutta välillä niistä voi olla hyötyä.
Virheiden hyödyntämisessä on tärkeää huomioida muutamia seikkoja. Oleellisen tärkeää on, että oppilailla on positiivisia uskomuksia virheistä. Tällöin hän todennäköisemmin analysoi ja korjaa virheitään (Tulis, 2013). Tärkeää on siis luoda luokkaan myönteisesti virheisiin suhtautuva ilmapiiri. Kun virhe on tullut tai sitä tutkitaan, on luonnollisesti korjattava virheen taustalla oleva periaate oikeaksi (Alfieri ym., 2013). Kiinnostavimpia ovatkin juuri käsitteelliset virheet, joissa oppilas systemaattisesti ajattelee jonkin asian virheellisesti. On tärkeää varmistaa, että oikea periaate opitaan. Tehokasta on myös esittää virheellinen ratkaisutapa oikean ratkaisutavan rinnalla (Durkin & Rittle-Johnson, 2012). Voidaan käyttää ns. vertailutehtäviä, joita Suomessa on esimerkiksi Joustava yhtälönratkaisu -materiaalissa tai Joustavaan Matematiikkaan -verkkokurssilla.
Tutkimukseni opettajat suhtautuivat vertailutehtäviin ja tarkoituksellisiin virheisiin pääosin myönteisesti. Oman ja muiden tutkimusten pohjalta näen, että virheistä todellakin voidaan oppia, jopa tarkoituksella. Rohkeasti siis virheitä päin!
Riikka Palkki, Turun yliopisto Matematiikan opetuksen kansalliskomitean sihteeri (2022-2024)
Matematiikan opetuksen kansalliskomitean edellinen artikkeli Dimensiossa: Matematiikan opetuksen kansalliskomitean esittely 17.8.2023
Tarkoituksellisista virheistä lisätietoja/materiaalia
Joustava yhtälönratkaisu -materiaali, joka sisältää myös tarkoituksellisia virheitä: https://aoe.fi/#/materiaali/2392 (suomeksi ja ruotsiksi)
Joustavaan Matematiikkaan -täydennyskoulutus: https://www.flexibility.fi/
Lähteet
Adams, D. M., McLaren, B. M., Durkin, K., Mayer, R. E., Rittle-Johnson, B., Isotani, S. & Van Velsen, M. (2014). Using erroneous examples to improve mathematics learning with a web-based tutoring system. Computers in Human Behavior, 36, 401–411. https:// doi.org/10.1016/j.chb.2014.03.053
Alfieri, L., Nokes-Malach, T. J. & Schunn, C. D. (2013). Learning through case comparisons: A meta-analytic review. Educational Psychologist, 48(2), 87–113. https://doi.org/10.1080/00461520.2013.775712
Durkin, K. & Rittle-Johnson, B. (2012). The effectiveness of using incorrect examples to support learning about decimal magnitude. Learning and Instruction, 22(3), 206–pal214. https://doi.org/10.1016/j.learninstruc.2011.11.001
LOPS 2019. Opetushallitus: Lukion opetussuunnitelman perusteet. https://www.oph.fi/sites/default/files/documents/lukion_opetussuunnitelman_perusteet_2019.pdf
Palkki, R. (2022). Vertailutehtävät ja tarkoitukselliset virheet – erilaisia ratkaisutapoja tarkastelemalla kohti joustavaa matematiikan osaamista. Oulun yliopiston tutkijakoulu. Tampere: Punamusta. Väitöskirja. http://urn.fi/urn:isbn:9789526233383 7
Steuer, G. & Dresel, M. (2015). A constructive error climate as an element of effective learning environments. Psychological Test and Assessment Modeling, 57(2), 262–275.
Tulis, M. (2013). Error management behavior in classrooms: Teachers’ responses to student mistakes. Teaching and Teacher Education, 33, 56–68. https://doi.org/10.1016/j.tate.2013.02.003
Kommentti 12.10.2023
Riikka Palkin kirjoitus virheisiin suhtautumisesta on hyvä ja tärkeä. Toivottavasti virheisiin suhtaudutaan nykykoulussa hänen esittämiensä suuntaviivojen mukaisesti. Ja että kirjoitus avaa viimeisenkin virheenpelkääjän silmät. Jutussa ei kuitenkaan tule esille virheiden pelon juurisyy. Virheiden välttämisellä on pitkät perinteet, sillä keskeinen opettamisen tapa on vanhastaan ollut tähdätä ulkoaoppimiseen. Kaikki se, mitä opettaja sanoo, on ollut tarkoitus painaa mieleen sellaisenaan. Siksi virheitä ei ole saanut tuoda esille. Matematiikan opetuksessa tätä on korostanut vielä se, että menetelmällistä tietoa on opetettu ensisijaisesti malliratkaisujen ja vain niiden avulla. Sitä tapaa ovat käyttäneet monet matematiikan oppikirjat vielä senkin jälkeen, kun ymmärtämisen merkityksestä oppimiselle on alettu puhua. Pahintahan siinä oli se, että vain malliratkaisun mukainen ratkaisu hyväksyttiin. Sellaista ajattelua saattaa tavata vielä edelleenkin, mikä näkyy esimerkiksi niistä verkon keskustelupalstojen postauksista, joissa vanhemmat kauhistelevat oppikirjoihin liittyvien kokeiden yksioikoista arvostelua.
Hannu Korhonen Orimattila
