Mitä matematiikan ymmärtämisellä tarkoitetaan?
Ulkoaopettelu ja mekaanisten laskutaitojen harjoittelu olivat matematiikan kouluopetuksen päämenetelmät hyvin pitkään. Yhä enemmän on kuitenkin alettu tuoda esiin ymmärtämisen merkitystä matematiikan oppimisessa. Mitä ymmärtämisellä oikeastaan tarkoitetaan tässä yhteydessä ja miksi se on tärkeää?
Opittavan ymmärtäminen ei ole ajatuksena mitenkään uusi. Se näkyy jo Comeniuksen (1592–1670) opetuksen monipuolisuutta korostavassa ajattelussa, sillä hänen mielestään se, mikä painettiin mieleen, oli ymmärrettävä. Samansuuntaista ajattelua edustivat Johann Heinrich Pestalozzin (1746–1827) ja Jean-Jacques Rousseaun (1712–1778) ajatukset siitä, että oppimisen pitää lähteä oppijan omista havainnoista eikä abstrakteista käsitteistä. Eräs merkittävimmistä ymmärtämisen puolesta puhuneista pedagogisista ajattelijoista oli John Dewey ( 1859–1952). Hän uskoi, että oppilaat oppivat parhaiten tekemällä ja kokemalla. Hän vastusti ulkoaoppimiseen ja mekaaniseen harjoitteluun perustuvaa koulutusta ja puolusti sen sijaan oppimista, joka perustuu oppilaan omien kokemusten ja kiinnostuksen kohteiden tutkimiseen.
Kuitenkin vielä ainakin 1900-luvun puoleen väliin asti vallitsevana oppimiskäsityksenä oli behaviorismi. Sen mukaan tiedon ajateltiin olevan jotain valmista, jonka opettaja siirtää oppijalle. Oppilas omaksuu sen sellaisenaan samoin kuin oppikirjan tiedot. Sellaisen ajattelun jäänteitä on yhä vielä matematiikan opettamisessa ja oppimateriaaleissa, ehkä enemmän kuin joissakin muissa oppiaineissa.
Kognitiivinen oppimiskäsitys toi sitten oppijan keskiöön. Sen mukaan oppija rakentaa itse omat ajattelumallinsa ja strategiansa ja siten muodostaa opetettavista asioista oman ymmärryksensä mukaisia tietokokonaisuuksia. ”Enemmän puhetta ja ymmärtämisen kokemuksia, vähemmän hiljaista laskemista ja ulkoa tuotuja sääntöjä” voisi olla sopiva ohje vielä nykyisellekin matematiikanopetukselle [1].
Ulkoaoppimisen ja ymmärtämisen välillä on joskus jopa nähty ristiriitaa [2] niin, että ”Ulkoa oppiminen saattaa oppimistyylinä voittaa ymmärtävän oppimisen ja siihen tähtäävän opetuksen. Opetetaan ja opitaan, miten asiat ovat, mutta ei opeteta eikä opita miksi ne ovat niin eli ymmärtävä oppiminen jää heikoksi.” Sellaista opetusta on kuvannut hyvin Päivi Perälä pro gradu -työssään [3]:
”Matematiikka oli itselleni täysin ymmärrettävää ja helppoa murrosikään saakka. Siinä vaiheessa matematiikantuntien looginen sisällöllinen eteneminen loppui ja siirryttiin oppikirjan mukana aiheesta toiseen. – – En osannut kytkeä opiskeltavia asioita ennen opittuun, enkä ymmärtänyt enää mistä oli kyse. Kukaan ei esittänyt matematiikan ”karttaa”, sitä missä olin menossa, tai mihin päämäärään kukin opiskeltava asiapolku johtaisi tällä kartalla. – – Mitään ei selitetty, ruvettiin vain laskemaan.”
Opitun ymmärtäminen koskee tietysti kaikkea oppimista, eikä vain matematiikkaa. Kirjassaan How Children Fail John Holt (1923–1985) esitti 1960-luvulla todellisen oppimisen kriteereinä [4], [5], että oppilaan tulisi pystyä esittämään asia omin sanoin, antamaan esimerkkejä, tunnistamaan asia eri yhteyksissä, näkemään yhteyksiä tämän ja muiden asioiden välillä, käyttämään oppimaansa, näkemään seurauksia ja esittämään vastakohtia.
Matematiikasta Holt esittää yksinkertaisen aritmeettisen esimerkin: 7 · 8 = 56. Ymmärtämistä osoittaa hänen mielestään, että oppilas tietää, että se on yhtä suuri kuin 8 · 7, että sitä voidaan kuvata suorakulmiolla, jonka sivut ovat 7 ja 8, että se on sama luku kuin 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 tai 50 + 6 tai 4 · 14 tai 7 · 7 + 7 ja että se on esimerkki siitä, että parittoman ja parillisen luvun tulo on parillinen.
Ymmärtämistä tukevia oppimisvälineitä matematiikkaan
Oppilaan omat havainnot voivat perustua lähiympäristön tarkasteluun tai matematiikan oppimisen avuksi suunniteltuihin oppimisvälineisiin (engl. manipulatives). Jo 1900-luvun ensikymmenellä Maria Montessori (1870–1952) oli alkanut kehitellä niitä matematiikan oppimisen avuksi [6]. Hänen mielestään matematiikan ymmärtäminen syntyy käden ja mielen yhteistoiminnasta sekä abstraktin ja teoreettisen yhdistämisestä käytännölliseen ja merkitykselliseen. Välineiden kehittelyssä Montessorin esikuvana oli ranskalainen lääkäri Édouard Séguin eli Edward Seguin (1812–1880), joka erikoistui Yhdysvalloissa vammaisten opetuksen kehittämiseen. Välineillä on nykyäänkin erityisen vahva asema Montessori-pedagogiikassa [7].
Ymmärtäminen on keskeisellä sijalla myös Varga–Neményi-menetelmässä. Vanhemmille tarkoitetussa opastuksessa [8] asiaa selitetään näin: ”Oivaltaminen ja ymmärtäminen johdattelevat matemaattiseen ajatteluun. – – Moni vaikeakin asia on helppo käsittää, kun saa työskennellä omilla välineillä. Ymmärtäminen näkyy käsissä. Sanojen merkitys vahvistuu ja varmistuu. – – Värisauvat, loogiset palat ja geolauta ovat välineitä, jotka on hankittu kouluun ja niitä käytetään vuodesta toiseen. Kotoa tuodut lelut, napit ja muut pienet esineet liittävät koulussa opiskeltavat asiat kotiin ja lähiympäristöön.”
Merkittävä matematiikan opetusvälineiden kehittäjä oli unkarilaisyntyinen Zoltan Dienes [9] (1916–2014). Hän kirjoitti 1960 kirjan Building Up Mathematics, jossa hän kiteytti opetusmenetelmänsä ja visionsa siitä, miten matematiikan opetusta tulee muuttaa. Hänen mukaansa oppimisen vaiheiden järjestelmällinen läpikäyminen vaatii opetukseen tarkasti suunniteltua ja ajattelua kehittävää materiaalia, jota edustavat hänen keksimänsä kymmenjärjestelmävälineet, loogiset palat ja algebralaatat sekä belgialaisen Georges Cuisenairen [10] (1891–1975) värisauvat. Näitä ja monia muita, esimerkiksi geometriset palat (engl. pattern blocks), murtokakut ja rakentelukuutiot, on saatavissa lukuisina kaupallisina versioina [11], [12], sekä sähköisinä [13].
Havainto- ja toimintavälineiden käyttö antaa oppilaille mahdollisuuksia itsenäiseen työskentelyyn, omien havaintojen ja päätelmien tekemiseen sekä käsitteellistä ajattelua pohjustaviin konkreettisiin kokemuksien hankkimiseen. Sen on nähty tuottavan syvällistä ymmärrystä matematiikasta parantamalla käsitteiden hallintaa ja niiden hierarkkisuuden ymmärtämistä [14]. Parhaimmillaan se voi myös johdatella matemaattisen ajattelun laajentumista muuhunkin kuin lukuihin ja laskemiseen. Välineiden käyttö ei ole aina ihan ongelmatonta, sillä esimerkiksi Kirsi Makkonen ym. kertovat tutkimuksessaan [15], että ”osan opettajista oli vaikea hyväksyä koetehtäviä, joita pystyi ratkaisemaan piirtämällä tai välineillä (esim. värisauvat ja -napit)”. Välineiden käyttö ei kuitenkaan rajoitu varhaiskasvatukseen tai alakouluun. Niitä on myös yläkouluun, esimerkiksi algebralaatat ja geolauta [16], jopa tavanomaiseen koulumatematiikkaan kuulumattomiinkin aiheisiin niin kuin Lenártin pallo [17] pallogeometriaan ja Hintonin palikat [18] neljännen tilaulottuvuuden visualisointiin. Havainnollistamisvälineillä on käyttöä korkeakouluopetuksessakin [19].
Lähteitä ja lisää luettavaa
[1] Katso esimerkiksi Opettaja-lehden artikkelia Enemmän puhetta, vähemmän hiljaista laskemista – matematiikasta tuli joustavaa 11.1.2019 https://www.opettaja.fi/tyossa/enemman-puhetta-vahemman-hiljaista-laskemista-matematiikasta-tuli-joustavaa/
[2] Suontaus, Tiina (2008): Matematiikan opetuksen havainnollistamisen kehittämismahdollisuuksia. Opettajankoulutuksen kehittämishanke, Tampereen ammatillinen opettajakorkeakoulu. https://www.theseus.fi/bitstream/handle/10024/8132/Suontaus.Tiina.pdf?sequence=2
[3] Perälä, Päivi (2004): Parasta on aloittaa siitä, kuinka minä ja matematiikka tapasimme. Tyttöjen ja naisten matemaattisten opiskeluvalintojen syitä ja taustatekijöitä. Kasvatustieteen pro gradu -tutkielma, Luokanopettajasta maisteriksi -ohjelma, Chydenius-Instituutti, Kokkolan yliopistokeskus, Jyväskylän yliopisto. https://jyx.jyu.fi/bitstream/handle/123456789/19409/URN_NBN_fi_jyu-200812035925.pdf?sequence=1&isAllowed=y
[4] Näätänen, Marjatta (1999): MALU 2002 -ohjelman raportti, luku III:10.2 Mitä tarkoittaa opitun ymmärtäminen? https://matematiikkalehtisolmu.fi/1999/2/luku3.html
[5] Britannica: John Holt, American teacher and writer https://www.britannica.com/biography/John-Holt
[6] Johnson, Anna (2015): Manipulatives in the Math Classroom. Plan B Paper, required for the Degree in Masters of Montessori Education. University of Wisconsin-River Falls. https://amshq.org/-/media/Files/AMSHQ/Research/Action-Research/Manipulatives-in-the-Math-Classroom.ashx
[7] Alvarez, Célin: Les lois naturelles de l’enfant. Mathematiques. https://www.celinealvarez.org/mathematiques/videos-et-fiches
[8] Varga–Neményi ry (2018): Tukea vanhempainiltaan https://varganemenyi.fi/koulutus/20-vanhemmille
[9] Uus-Leponiemi, Tuula: Matematiikan opetuksen historiaa: Zoltan Dienes. Dimensio 17.3.2020 https://dimensiolehti.fi/matematiikan-opetuksen-historiaa-zoltan-dienes/
[10] Wikipedia: Georges Cuisenaire https://en.wikipedia.org/wiki/Georges_Cuisenaire
[11] Elli: matemaattiset valmiudet https://ellinkauppa.fi/tuote-osasto/matematiikka
[12] Esimerkiksi Top Manipulatives for Teaching Math https://resilienteducator.com/classroom-resources/top-manipulatives-teaching-math
[13] Amplify: Polypad osoitteessa https://polypad.amplify.com/p#random
[14]Harja, Annika (2015): Toiminnallisen matematiikan mahdollisuuksia etsimässä. Kasvatustieteen pro gradu -tutkielma, Opettajankoulutuslaitos, Jyväskylän yliopisto. https://jyx.jyu.fi/handle/123456789/59889
[15] Makkonen, Kirsi ym. (2019): Yläkoulun matematiikan opetuksen kehittäminen yhteisopettajuusmallilla ja joustavia oppimisryhmiä käyttäen. https://journal.fi/ainedidaktiikka/article/download/71163/43626/125676
[16] Katso esimerkiksi Dunkels, Andrejs. (1983). Boken om geometri på ett bräde. Göteborg: Förlagshuset GOTHIA.
[17] Korhonen, Hannu (2004). Geometriaa pallolla. Dimensio 2 (68). Matemaattis-luonnontieteellinen aikakauslehti, 10–13.
[18] Luotoniemi, Taneli (2019): Hintonin palikat http://matharts.aalto.fi/HintoninPalikat.pdf
[19] Browne, Patrik (2023): Teaching with manipulatives for university Mathematics https://mau.diva-portal.org/smash/get/diva2:1777876/FULLTEXT02.pdf
