Loogista päättelyä

Matematiikan opetuksen kansalliskomitean kolumni esittelee ajankohtaisia aiheita ja kansalliskomitean jäsenten ajatuksia matematiikan opetuksesta ja sen kehittämisestä. Kolumnia on myös mahdollista kommentoida ja siten saattaa uusia ideoita tietoomme. Osallistu keskusteluun somessa tai kirjoita jutulle vastine ja toimita se päätoimittajalle, jolloin tekstisi voidaan lisätä kommentiksi jutun loppuun tai julkaista uutena artikkelina. Tässä kolumnissa Pekka Alestalo esittelee matematiikan ylioppilastehtävissä tarvittavaa loogista päättelyä.

Loogista päättelyä arkielämässä

Loogiselle päättelylle ja täsmälliselle kielenkäytölle on tarvetta kaikilla elämänaloilla, mutta niiden merkitys vaihtelee asiayhteyden mukaan. Matematiikassa lähes kaikki toiminta on laajasti tulkittuna loogista päättelyä, vaikka sitä ei aina tule ajatelleeksi: “Jos erotan tästä lausekkeesta yhteisen tekijän, niin seuraavaksi voin tehdä sitä tai tätä.” Tietokoneiden käyttämät ohjelmakoodit edustavat äärimmäisyyteen vietyä logiikkaa ja täsmällisyyttä. Eri vaiheet seuraavat toisiaan tarkasti määrätyssä järjestyksessä ja yhden välimerkin puuttuminen saattaa tuhota koko toiminnan.

Esimerkkejä löytyy myös arkielämästä. Kun uutisessa kerrotaan suomalaisten yritysten vaikeuksista saada riittävästi työntekijöitä, niin suoraviivaisen johtopäätöksen mukaan maassamme on liikaa yrityksiä asukaskuluun verrattuna. Tämä selitys ei ehkä ole paras mahdollinen. Kun taloustieteilijä paheksuu suomalaisten tuotteiden suosimista, koska se “vääristää kilpailua”, niin monien johtopäätös on juuri päinvastainen: jos pieni ihminen pystyy ostoskäyttäytymisellään tällaiseen saavutukseen, niin mikäs sen mahtavampaa? Tai kun kaksi fysiikan professoria esittää vastakkaiset kantansa ydinvoiman suhteen, herää kysymys, kuinka paljon fysiikkaa täytyy opiskella, jotta pystyy päättelemään oikean vastauksen tähän kysymykseen.

Yllä mainitut esimerkit koskevat niin monimutkaisia tilanteita, ettei niihin löydy vastauksia pelkän loogisen päättelyn avulla, sillä asioita sekoittavat keskustelijoiden arvomaailma ja muut hankalasti täsmennettävät taustatiedot. Matematiikassa tilanne on toinen. Täsmällisten määritelmien ja päättelyketjujen avulla pyritään muotoilemaan ja todistamaan tuloksia, joista kaikki aiheeseen perehtyvät voivat lopulta olla samaa mieltä. Tärkeimmät termit ovat määritelmä, oletus, väite ja todistus. Näihin liittyy pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävä keväältä 2021, jossa tehtävänä oli luokitella tekstinpätkiä yllä mainittuihin luokkiin. Päällimmäinen ajatus vastauksia lukiessani oli se, että arpomalla voisi saada suunnilleen yhtä hyviä vastauksia, mutta epäilemättä asiaa voisi tutkia tilastojen valossa tarkemminkin. Mistä tämä johtuu?

Loogista päättelyä ylioppilaskirjoituksissa

Lukion opetussuunnitelman yleisissä tavoitteissa mainitaan päättelytaidot monellakin eri tasolla, mutta niihin ei palata enää tarkemmin minkään pakollisen moduulin kohdalla. Valinnaisen moduulin keskeisissä sisällöissä mainitaan konnektiivit ja totuustaulut. Niitä opiskellut tietää, että epätodesta väitteestä voi seurata mitä vain. Tällainen päättely näyttää herättävän jonkin verran vastustusta arkielämässä, mutta esimerkiksi valtioiden välisissä suhteissa se näyttää toimivan hyvin. Mutta ovatko totuustaulut sittenkin liian teoreettisia työkaluja konkreettisten väitteiden ymmärtämiseksi? Kuinka helppoa tai vaikeaa on tavallisesta tekstistä tunnistaa tapaus “A:sta seuraa B”? Tarkastellaan esimerkkinä alla olevaa syksyn 2023 pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tehtävää 10.5:

Myös matematiikan kielen ja yleiskielen pienet erot saattavat olla yhtenä selityksenä siihen, miksi niin monet kokelaat yrittivät perustella tämä yleisen tuloksen pelkästään esimerkkifunktiolle f(x) = sin x. Vai onko se vain epätoivoinen yritys paremman puutteessa?  Samalla täytyy kuitenkin myöntää, että osa matematiikkaan liittyvistä termeistä kuten “lause” on huonosti valittu: vaikka “teoreema” kuulostaa kovin teoreettiselta, olisi se tässä yhteydessä mielestäni selvyyden kannalta parempi kuin tuo ruotsista tai saksasta käännetty versio.

Jokainen matematiikan opettaja tuntee opiskelijoita, joilla on liian vilkas mielikuvitus: perusteettomia faktoja, laskusääntöjä ja omia päättelysääntöjä otetaan surutta käyttöön. Sama ominaisuus näyttää vaivaavan myös nykyisiä tekoälysovelluksia. En tiedä, millä tavalla niiden yleistyminen pitäisi ottaa matematiikan opetuksessa huomioon, mutta yksi mahdollinen suunta on lisätä loogisen päättelyn pakollista osuutta jonkin muun kustannuksella. En tarkoita palaamista alkeisgeometrian aksiomaattisiin todistuksiin, joukko-opista puhumattakaan. Ainakin lukion pitkässä matematiikassa aihepiiriksi sopii erittäin hyvin nykyisenkin valinnaisen moduulin lukuteoria tai diskreetti matematiikka, jossa todistukset eivät ole itsestään selviä kuvasta katsomalla (geometria) tai teknisesti turhan hankalia (jatkuvuus, differentiaali- ja integraalilaskenta). Tämä antaisi myös paremmat edellytykset matematiikan ja muiden loogisten aineiden opiskelulle lukion jälkeen.

Loppukevennyksenä loogisesta ajattelusta tavallisessa elämässä mainittakoon vielä monien urheiluvalmentajien puheet 110 prosentin onnistumisesta. Ilmeisesti vain Matti Nykänen ymmärsi, mitä tämä tarkoittaa: “Se on ihan fifty-sixty miten käy.”