Matematiikanpuolustaja
Matematiikka on ihanaa, hyödyllistä, tärkeää, kaunista ja hauskaa. Monien mielestä se on päinvastoin inhottavaa, tarpeetonta, tylsää, vaikeaa ja yliarvostettua.
Kaikille edellä mainituille matematiikkaa luonnehtiville laatusanoilla löytyy verkosta vannoutuneet kannattajansa. Suomen Kuvalehti kirjoitti vuonna 2018 asiasta otsikolla Matematiikka on yliarvostettua ja Iltasanomat vuonna 2019 otsikolla Lukioissa opiskellaan matematiikkaa hampaat irvessä. Kummastakin paistaa jo otsikkotasolla hyvin päinvastainen näkemys kuin se, joka on matematiikkaa rakastavilla Keisha Thompsonilla [1] ja Esko Valtaojalla [2]. Mitä voitaisiin tehdä, että myönteisten matematiikkauutisten julkaisukynnys saataisiin yhtä matalaksi kuin negatiivisten?
Vielä 1940-luvulla matematiikka oli harvojen herkkua. Matemaatikon piti puolustaa jopa omaa työtäänkin [3]. Laskentoa kyllä opetettiin koko kansalle, koska sitä tarvittiin arkielämässä. Nyt tilanne on kuitenkin kääntynyt aivan toiseksi. Laskento ei ole enää niin tärkeää, sillä arkipäivän numerolaskut hoituvat älypuhelimen laskimella ja automaattiset kassajärjestelmät huolehtivat kauppalaskuista, yritysten varastonhallinnasta ja kirjanpidosta. Se, mitä laskennosta tarvitaan arkipäivässä, on lukujen suuruuden taju ja likimääräinen arviointi.
Muuta matematiikkaa tarvitaan sen sijaan kaikkialla taiteesta ja urheiluvalmennuksesta tieteeseen ja tekniikkaan. Siitä huolimatta on vielä paljon ihmisiä, jotka eivät suhtaudu matematiikkaan myönteisesti tai edes neutraalisti, jotkut suorastaan peläten ja osaamattomuudestaan ylpeillen. Siksi matematiikka tarvitsee puolustajia. Sinä voit olla yksi heistä, olitpa opettaja, vanhempi tai kuka tahansa kansalainen.
Jokainen voi ryhtyä puolustamaan matematiikkaa. Mallia voi ottaa äidinkielen puolustamisesta. Suomen kielen tutkija ja opettaja Lari Kotilainen antaa kirjassaan Suomensuojelija [4] seitsemän kohdan ohjeen. Kun hänen listallaan vaihtaa suomen tilalle matematiikan, saa seuraavat ohjeet matematiikan puolustamiseen:
1. Käytä matematiikkaa 2. Leiki matematiikalla 3. Luota omaan osaamiseesi 4. Arvosta matematiikkaa 5. Tunnusta väriä 6. Älä pelkää muita oppiaineita 7. Pidä meteliä (matematiikan puolesta)
Matematiikka on, toisin kuin äidinkielemme suomi (tai ruotsi), universaali ja kansainvälinen. Tämän erityisluonteen vuoksi listaan olisi mahdollista lisätä vielä kahdeksas kohta:
8. Verkostoidu ja kansainvälisty
Nämä eivät ole kahdeksan käskyä, mutta niitä voi tulkita käskyjen tapaan. Mitä se siis on?
Käytä matematiikkaa
Monet käyttävät matematiikkaa arkipäivässään ja työssään. Matematiikanpuolustajan kohdalla on kyse muustakin asenteesta. Herättävätkö uutiset tai lukemasi kirjat matemaattisia mietteitä tai halua laskea, mitä annetuista tiedoista seuraa tai ovatko ne edes järkeviä? Arvioitko mielessäsi etäisyyksiä, ihmisjoukkojen tai lintuparvien lukumääriä, rakennusten mittoja, maitokaupan ostoskärryssäsi olevien ostosten yhteissummaa tai muuta ympäristöäsi, vaikka et tietoa ihan välttämättä tarvitsisikaan? Uskotko tieteeseen ja tilastollisiin ennusteisiin enemmän kuin pelkkiin mielipiteisiin perustuvaan propagandaan?
Koronapandemia on pannut monet ajattelemaan tulevaisuutta vakavammin kuin aikaisemmin. Koronatiedotuksessa on monia asioita, joiden vaikuttavuutta voi arvioida yksinkertaisillakin laskuilla. Jos Suomessa ilmenee joka päivä 350 uutta tartuntaa, niin kuinka kauan kestäisi tällä vauhdilla, että kaikki suomalaiset olisivat saaneet tartunnan? Jokin ajatus kannattaa uhrata myös sille, kuinka uskottava tämä tasaisen leviämisen malli on. Jos Suomeen saadaan vuoden 2021 alusta 50 000 rokotuserää viikossa, niin milloin kaikki suomalaiset olisi rokotettu?
Muita vähemmän ajankohtaisia arviointitehtäviä voisivat olla seuraavat: – Oletko syönyt elämäsi aikana tonnin leipää? – Kuinka paljon suomalaiset painavat yhteensä? Entä maailman koko väestö?
– Montako hyttystä Suomessa syntyy vuoden aikana? Kuinka paljon nämä hyttyset painavat yhteensä? – Kuinka monta sairaanhoitajaa työskentelee Suomen terveyskeskuksissa? – Kuinka paljon perunoita suomalaiset syövät vuodessa henkeä kohti?
Tällainen arvuuttelu voi olla perheen tai työyhteisön keskinäistä arkitoimintaa. Vastauksen voi usein löytää julkisista tilastoista. Tärkeää tässä eivät ole niinkään oikeat vastaukset kuin itse toiminta oman arviointikyvyn harjoittamiseksi. Joskus saa ainakin kertaluokan oikein, joskus menee pahastikin harhaan, jos lähtötiedot eivät vastaa totuutta. Lisää aiheita voit keksiä itse tai poimia päivän uutisvirrasta.
Leiki matematiikalla
Mitä? Eikö matematiikka olekaan oppia oikeasta ja väärästä, todesta ja epätodesta, perusteluista ja todistamisesta? Siis sanalla sanoen jotain vakavaa. Mitä leikillä on sen kanssa tekemistä? On paljonkin. Matematiikkaa harrastavat monet muutkin kuin ammattimatemaatikot tai työnsä vuoksi matematiikkaa tarvitsevat. Harrastuksen laajuudesta ja hauskuudesta on todisteena kulttuurin ala, josta käytetään englannin kielessä nimitystä recreational mathematics. (ranskaksi mathématiques récréatives). Suomeksi nimittäisin sitä mieluummin metkaksi matematiikaksi kuin sananmukaisemmalla käännöksellä virkistys- tai ajanvietematematiikka.
Se on ollut ja on edelleen suosittua aineistoa monien aikakauslehtien ongelmatehtävä- ja askartelupalstoilla. Siitä on julkaistu lukemattomia kirjoja, Sam Loyd, Martin Gardner ja Ian Stewart viimeisten runsaan sadan vuoden ajan kirjoittajia mainitakseni. Aivan viimeisinä vuosikymmeninä metka matematiikka on laajentunut uusiin suuntiin, kun tietokoneet ovat tehneet matemaattisen taiteen, esimerkiksi fraktaalimatematiikan, tekemisen, laskemisen ja dynaamisten geometrian ongelmien havainnollistamisen paljon helpommaksi. Ja muutos on vain kiihtymässä tekoälysovellusten yleistyessä.
Luota omaan osaamiseesi
Paras tapa oppia luottamaan itseensä on tehdä sellaista, jota osaa ja joka kiinnostaa. Jo koulun kotitehtävät voisivat toimia tässä, jos ne olisi valittu juuri sinun taitoihisi sopiviksi. Ei liian vaikeita mutta ei liian helppojakaan rutiinitehtäviä, joiden suorittamisesta ei synny onnistumisen iloa. Matematiikalla on vielä sellainen raskas perintö, että ankaraa arvostelua, suoranaista mollaamista, on käytetty jopa opetusmenetelmänä. Vanhemmat ihmiset muistavat vieläkin, että teilaaminen ei kohdistunut vain yksittäisiin oppilaisiin, vaan kokonaisiin ryhmiin, esimerkiksi tyttöihin. Eivätkä siihen aina syyllistyneet vain matematiikan opettajat, sillä oli myös kieltenopettajia, jotka saattoivat suositella lukiolaispojalle monttutöitä yliopisto-opintojen asemesta, jos vieraan kielen sanat tai kielioppisäännöt eivät menneet päähän riittävän nopeasti. Onneksi tästä on päästy (?) ja moittimisen kulttuurista on siirrytty kannustamiseen. Kouluopetuksella on miljoonan taalan (tai euron) paikka. Vain itseensä luottavista lapsista kasvaa matematiikan tekijöitä ja harrastajia.
Matematiikka-asenteita on tutkittu paljon. Asenteet vaikuttavat suoriutumiseen [5] matematiikassa ja varmaankin vielä enemmän koulun ulkopuoliseen ja koulun jälkeiseen matematiikan harrastamiseen. Vahvimmin vaikuttavat asennetekijät ovat oppilaan käsitys itsestään matematiikan oppijana ja luottamus matematiikan tehtävistä suoriutumiseen. Tähän puoleen ei ole kiinnitetty vieläkään tarpeeksi huomiota matematiikan opetuksessa, mikä varmaankin selittää suuren osan matematiikkaan kohdistuvista negatiivisista asenteista. Kannattaisi kyllä, sillä myönteisellä asenteella saavutetaan parempia oppimistuloksia ja ohjataan tulevaisuuden valintoja sekä työelämässä että harrastuksissa.
Kouluopetuksen merkitys kansalaisten matematiikkakuvalle, matematiikan taidoille ja myönteisille asenteille on suuri. Tärkeässä asemassa ovat opettaja ja hänen opetustapansa. Sitä todistavat sekä kirjallisuus että verkkojulkaisut. Vaihtoehtoisia ratkaisuja ja toimintatapaehdotuksia on monenlaisia [6][7][8]. Niistä muodostuu selvä käsitys siitä, millaista matematiikanopetus voisi olla parhaimmillaan. Opettajalta se vaatii paljon. Eikä kyse ole pelkästään opetuksen laadusta, vaan myös sisällöistä. Välillä on hyvä ottaa esille sellaisia kiinnostavia matematiikan asioita, jotka eivät kuulu vanhastaan vakaasti etenevään koulumatematiikkaan. Ei oppilas voi kiinnostua sellaisesta, mitä ei tiedä olevan olemassakaan ja kuinka kivaa se voisi olla, jos siihen alkaisi syventyä.
Arvosta matematiikkaa
Matematiikkaa voi kunnioittaa ja pelätä niin kuin muinaiset heprealaiset Mooseksen jumalaa. Siihen on syytäkin, sillä matematiikka on nyky-yhteiskunnassamme (melkein) yhtä kaikkivaltias ja nykysanaa käyttääkseni ubiikki. Ilman sitä meillä ei olisi keittiökoneita, älypuhelimia, tietokoneita, liikennevälineitä, energiantuotantoa eikä pankki- tai vakuutusjärjestelmiä. Näin ollen ei ole ollenkaan perusteetonta, että uhraamme matematiikalle verovarojamme samoin kuin heprealaiset uhrasivat kyyhkysiä, pässejä ja sonneja.
Eikö tämän matematiikan palvomisen voisi sitten ulkoistaa matemaatikoille, tilastotieteilijöille, insinööreille ja ohjelmoijille samalla tavalla kuin heprealaiset antoivat uhrieläinten polttamisen uhripappiensa tehtäväksi? Ei voi tai ei ainakaan kannata, sillä matematiikan harrastajista ne ammatikseen matematiikkaa käyttävätkin kasvavat. Ja vaikkei oma urakehitys siihen joukkoon veisikään, niin matematiikassa on se sama kaikkia ihmisiä lähelle tuleva henkinen puoli kuin uskonnossa, että arkihyödyn lisäksi se tarjoaa mielihyvää halukkaille, turvallisuutta uutisvirran arvioinnissa ja maailmanmenon ymmärtämisessä sekä mittaamattomia mahdollisuuksia oman ajattelun kehittämiseen.
Mielihyvä tulee matematiikan tekemisestä ja harrastamisesta. Tähän kouluopetus ei meitä valmista riittävästi, tuskin ollenkaan. Sitä ohjaa nimittäin edelleen ensisijaisesti vuosisatainen, ellei vuosituhantinen hyötyajattelu, mikä näkyy aritmeettisten ja algebrallisten taitojen ja algoritmisen ajattelun vahvana korostamisena. Ei hyödyssä mitään pahaa ole, mutta ihminen ei elä pelkästään leivästä. Matematiikan kouluopetukseen tarvitaan innostusta tukevia onnistumisen kokemuksia kaikille sekä mahdollisuuksia konkreettiseen tekemiseen, luovuuden kehittämiseen ja itsenäisen ajattelun harjoittamiseen.
Matematiikkaa voisi ehkä monikin arvostaa, mutta tavallisen ihmisen ja matematiikan välillä on koulumatematiikan luoma muuri. Koulumatematiikkaa on kritisoitu opetusmenetelmiensä osalta, mutta syy on syvemmällä. Perinteen ”näkökulmat johtavat ajatteluun, jossa matematiikka toisaalta välineellistyy, ja samalla muodostuu jäykäksi ja mykäksi oppisisältöjen mereksi. Pragmaattiset näkökulmat eivät osaa kuin luetella taitoja, joita ihmisen tulee oppia menestyäkseen jossain muualla. – – Matematiikkaa kutsutaan kumulatiiviseksi aineeksi hyvästä syystä. Pyrkimys yksittäisten sisältöjen tehokkaaseen opettamiseen ajaa [kuitenkin] järjestämään aineksen loogisiksi jatkumoiksi, joissa yhdet taidot täytyy osata ensin, jotta seuraavat voi oppia oikealla, systeemiin sopivalla tavalla. Tämä ei vastaa matematiikkatieteen omaa historiaa tai logiikkaa, jossa asiat kytkeytyvät toisiinsa monenlaisilla tavoilla, ja jossa osa tieteen kehitystä on myös ennen irrallisten osa-alueiden yhdistyminen uudella yllättävällä tavalla. Matematiikkatieteen sisäinen logiikka ja problematiikkojen historia jäävät hämärän peittoon, kun opettaja harppoo matematiikan rappusia monesti koluamiaan askelmerkkejä pitkin. Näin sekä opettajalle että oppilaille vahvistuu kuva matematiikasta yhtenä yhdenmukaisena jäykkänä ajattelujärjestelmänä, joka on vieläpä muodoltaan pyramidimainen, yksinkertaisista perusasioista alati tehokkaampiin yleistyksiin etenevä” [9].
Matematiikkaa kannattaa puolustaa. Mutta miten on koulumatematiikan laita? Olisiko siinä korjattavaa, jotta saataisiin suuret joukot siirtymään matematiikan puolustajien riveihin?
Tunnusta väriä
Värin tunnustaminen on oikeastaan urheilutermi. Joukkueiden kannattajat pukeutuvat mielellään samanvärisiin asusteisiin kuin kannattamansa joukkue, jopa pelipaitoihin. Miksi sinä et siis matematiikan puolustajana pukeutuisi matematiikkapaitaan, joisi aamuteetäsi tai -kahviasi matematiikkamukista tai ripustaisi seinällesi matematiikkatauluja. Esher, Mondrian ja Vasarely vanhoista mestareista sekä esimerkiksi Francois Morellet ja Robert Bosch nuoremmista mainitakseni. Lisää nimiä löydät helposti verkosta [10].
Matematiikka voi näkyä arkipäivässäsi monella muullakin tavalla. Voit lukea yleistajuista matemaattista kirjallisuutta tai pelata ystäviesi, lastesi tai lastenlastesi kanssa matematiikka-aiheisia pelejä, kuten Spectrangle, Tantrix, Tetrix tai Triominos. Taiteen ja matematiikan yhteyksistä on paljon mielenkiintoista luettavaa Bridges-sivustolla [11] sekä kouluopetukseen sopivia aiheita ja projektiesimerkkejä LUMATIKKA-koulutusohjelman sivuilla [12]. Jotain pientä esimakua voit saada myös Askartelua ja aivojumppaa -sarjasta [13]. Koulussa värin tunnustaminen – tai metelin pitäminen – voisi olla piin päivän [14] juhlistamista 14.3., matematiikan teemaviikkoja tai matematiikkakilpailuihin osallistumista.
Älä pelkää muita oppiaineita
Muut oppiaineet eivät ole matematiikan kilpailijoita kuin ehkä kurssien ja oppimäärien valinnassa. Ne voisivat päinvastoin tukea toisiaan, jos oppiaineiden välillä olisi enemmän yhteistyötä ja koulun arkityössä olisi enemmän oppiaineiden välisiä hankkeita. Lukuaineiden hengelle olisi hyväksi, jos yhteistyön suunta olisi taito- ja taideaineisiin.
Koulun ja oppiaineiden todellinen kilpailija on nykyinen viihdeteollisuus. Siinä on kyse rajusta kilpailusta lasten, nuorten ja kaikkien ihmisten ajasta ja sielusta sekä taistelusta maksavista yleisöistä. Kaikki koukuttamisen keinot ovat käytössä osallistuttamista ja tunne-elämysten tarjoamista myöten. Vahvoista elämyksistä huolimatta osallistuminen on usein passivoivaa vastaanottamista. Koululla ja sen oppiaineilla olisi kuitenkin paljon oppimista tästä kaikesta.
Mitä matematiikan opetuksessa sitten voitaisiin tehdä kilpailuasetelman parantamiseksi? Tärkeimpiä asioita ovat ne, että kukin oppilas [15] – saa käyttää konkreettisia oppimisvälineitä – saa käyttää koko älyllistä kapasiteettiaan – saa harjoittaa luovia kykyjään – saa pohtia omaa ajatusprosessiaan. – oppii käyttämään matematiikassa oppimiaan asioita muilla älyllisen toiminnan alueilla – oppii luottamaan itseensä – oppii nauttimaan omasta henkisestä työstään – on valmis kohtaamaan uusia älyllisiä haasteita sekä opinnoissa että arkielämässä.
Onnistumisen kokemusten tuoma nauttiminen ja lupa luovien kykyjen kehittämiseen ovat ehkä tärkeimmät kilpailuvaltit, joita matematiikan opetuksessa pitäisi pyrkiä tarjoamaan paljon nykyistä enemmän.
Pidä meteliä
Meteli ei ole nykyisin niinkään kovaa ääntä kuin medianäkyvyttä. Helpoimmin voit puolustaa matematiikka sosiaalisessa mediassa tykkäämällä postauksista ja jakamalla eteenpäin matematiikkaa koskevia artikkeleita, esimerkiksi juuri tätä tai muita Dimension juttuja. Jo sillä on suuri merkitys. Esimerkiksi matematiikansuojelija Kaisa Vähähyyppä sanoo huomanneensa, että jakaessaan matematiikkajuttuja vaikka Twitterissä hän on saanut tykkäyksiä ja osa tykkääjistä on jakanut juttuja eteenpäinkin. Eivätkä useimmat tykkääjät ole opettajia, vaikka heitäkin on joukossa.
Juttujen tai postausten kommentointi on vuoropuhelua. Samoin kirjoittelu keskustelupalstoille. Siellä voit tuoda esille mielipiteitäsi ja asiantuntemustasi. Kysymyksetkin ovat tärkeitä, sillä ne osoittavat kiinnostusta matematiikan asiaan. Positiivisia puheenvuoroja tarvitaan, sillä monilla keskustelupalstoilla somen pisimmät keskusteluketjut syntyvät ongelmiksi koetuista asioista.
Tuo reilusti esille se, että olet matematiikan puolella. Et välttämättä ketään vastaan, vaan positiivisessa mielessä mieliaiheesi puolesta. Osallistumisella on sekin merkitys, että jokainen viesti rakentaa ajankuvaa, joka koostuu tuhansista ja tuhansista viesteistä. Seuraava askel onkin sitten ryhtyä some-aktivistiksi, blogistiksi, vlogistiksi tai tubettajaksi, tai kirjoittaa juttuja verkkolehtiin, kuten tähän Dimensioon. Samaa voit tehdä tietysti perinteisenkin median puolella kirjoittamalla mielipidekirjoituksia tai lehtiartikkeleita. Kaikki tämä tuo lisää näkyvyyttä matematiikalle.
Kirjoittelu on jo metelin pitämistä hyvässä mielessä. Samoin olisi vilkas osallistuminen keskusteluryhmiin. Blogipostauksia löydät esimerkiksi Blogi.fi-sivustolta [16] hakusanalla ”matematiikka” tai ”matematiikan oppiminen”. Sen sijaan haku ”matematiikan harrastaminen” ei anna siellä yhtään tulosta. Keskusteluryhmiä löydät verkon hakukoneilla. Joillakin niistä keskustelu on vilkasta ja sävyltäänkin joskus meteliä muistuttavaa. Katso esimerkiksi julkisia Facebook-ryhmiä Matematiikka [17] ja Rakastan matematiikkaa [18].
Metelin pitämisellä on merkitystä matematiikan medianäkyvyydelle. Matematiikka näyttäytyy tärkeänä, kiinnostavana ja haluttuna, kun sitä pidetään esillä. Kyse on tavallaan markkinoinnista. Jos matematiikkaa mainostettaisiin samalla volyymillä ja viestintäosaamisella kuin uusinta kännykkämallia tai hienointa collegepuseroa, johan alkaisi kiinnostuneita löytyä. MAOLkin voisi olla tässä paljon aktiivisempi. Jo twiitti viikossa pitäisi lippua korkeammalla.
Verkostoidu ja kansainvälisty
Matematiikka on monitahoinen ja universaali. Se kehittyy jatkuvasti. Kukaan ei voi enää hallita sen kaikkia osa-alueita. Hyvä tapa pysyä ajassa mukana on ryhtyä seuramaan kiinnostavia blogeja, keskusteluryhmiä ja verkkoartikkeleita. Kannattaa pitää silmällä myös ulkomaisia sivustoja niin paljon kuin kielitaito ja kiinnostus myöten antavat. Matematiikan ja matematiikanopetuksen kysymykset ovat nimittäin kansainvälisiä, jopa yleismaailmallisia. Lehtiä ja kirjoja on kasapäin.
Seuraamisen arvoisia suomalaisia sivustoja ovat esimerkiksi Varga–Neményi-yhdistys [19], Matikkamaat [20], LUMA-keskus [21], Solmu-lehti [22] sekä Simo Kivelän [23], Pekka Peuran [24], Laura Tuohilammen [25] ja Samuli Siltasen [26] sivustot. Ulkomaisia sivustoja voisivat olla muiden muassa Geogebra-materiaalit [27], Pohjoismaiden ja Baltian Geogebra-verkosto [28], Göteborgin yliopiston matematiikan opetuksen keskus [29], englantilainen matematiikanopettamiskeskus NCETM [30] ja Yhdysvaltain matematiikan opettajien liitto [31]. Koti- ja ulkomaisia opinnäytteitäkään ei kannata unohtaa, sillä niiden tieto on usein ajan tasalla ja niissä on hyvät kirjallisuuskatsaukset.
Some-alustat tarjoavat mainioita mahdollisuuksia verkostoitumiseen. Liity Facebook-ryhmiin, hyväksy kaveripyynnöt ja tee niitä itsekin. Perusta LinkedIn-tili ja ala rakentaa verkostoasi. Rupea twiittaamaan. Mahdollisuuksia on monia. Tykkää, jaa eteenpäin ja kirjoita itsekin postauksia ja kiinnostavia artikkeleita. Some-tileillä on sekin merkitys, että on ihan eri asia ottaa yhteyttä oman ryhmän jäseniin tai saman some-alustan käyttäjiin kuin lähettää sähköpostia tuntemattomana yksityishenkilönä. Ei sitäkään pidä kuitenkaan arastella, sillä hyvätkin asiantuntijat kotimaasta ja eri puolilta maailmaa vastaavat yleensä auliisti kyselyihin.
Lisää luettavaa
[1] Stenberg, S. Keisha Thompson rakastaa sanoja ja matematiikkaa osoitteessa https://www.teatterikesa.fi/ajankohtaista/keisha-thompson-rakastaa-sanoja-ja-matematiikka/ [2] Valtaoja, E. Mikään ei ole niin kaunista kuin matematiikka osoitteessa https://www.mandatumlife.fi/life-magazine/2016/mikaan–ei-ole-niin-kaunista-kuin-matematiikka/ [3] Hardy, G. Matemaatikon apologia. Terra Cognita 1997, suom. Kimmo Pietiläinen. Englanninkielinen alkuteos Mathematician’s apology. Cambridge University Press 1940. [4] Kotilainen, L. Suomensuojelija – Ohjekirja kielen pelastamiseen. WSOY, 2009. [5] Kupari, P. ym. PISA12. Ensituloksia. Opetus- ja kulttuuriministeriö, 2013. Saatavana myös verkosta https://julkaisut.valtioneuvosto.fi/bitstream/handle/10024/75271/okm20.pdf?sequence=1&isAllowed=y [6] Varga-Neményi/Menetelmä osoitteessa https://varganemenyi.fi/menetelma/tietoa-menetelmasta/varga-nemenyi-menetelma [7] YLE/Oppiminen/Oppimistaidot Matematiikan opettaja joka ei opeta osoitteessa https://yle.fi/aihe/artikkeli/2016/10/05/matematiikan-opettaja-joka-ei-opeta-pekka-peuran-pitka-tie-unelmaansa [8] Martin, A. Vallankumous tapahtuu oppitunti kerrallaan – Matematiikka kuuluu meille kaikille osoitteessa https://www.uuttaluova.fi/uncategorized/vallankumous-tapahtuu-oppitunti-kerrallaan-matematiikka-kuuluu-meille-kaikille/ [9] Vilja, J. Totuus ja muut tehtävät. Matematiikan ontologia ja pedagogia Paul Ernestin ja Alain Badioun mukaan. Pro gradu -tutkielma, Helsingin yliopisto, 2016, osoitteessa https://helda.helsinki.fi/handle/10138/169290 [10] Esimerkiksi List of mathematical artists osoitteessa https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mathematical_artists tai Ornes, St. For these artists, math is their muse osoitteessa https://www.sciencenewsforstudents.org/article/math-is-muse-for-these-artists [11] Bridges osoitteessa https://www.bridgesmathart.org/ [12] Matematiikka ja taide osoitteessa https://lumatikka.luma.fi/matematiikka-ja-taide/ [13] Korhonen, H. Askartelua ja aivojumppaa, osat 1–10. Dimensio 2020, osoitteessa https://www.dimensiolehti.fi/?s=askartelua+ja+aivojumppaa [14] Korhonen, H. Piin päivä 14.3. Dimensio 26.2.2019 osoitteessa
Kirjoittaja
