Joulukuun pulmat – MAOL 90 vuotta
Kiinnostavan luvun paradoksi lausuu, että jokainen luonnollinen luku on kiinnostava. Yksinkertainen todistus on epäsuora. Jos on olemassa ei-tyhjä joukko ei-kiinnostavia luonnollisia lukuja, niin jokin niistä on pienin. Tämä ainutlaatuisuus tekee siitä kiinnostavan ja se on siksi poistettava ei-kiinnostavien lukujen joukosta. Tämän päättelyn jatkaminen tyhjentää ei-kiinnostavien lukujen joukon yksi kerrallaan. Ei siis ole yhtään luonnollista lukua, joka ei olisi kiinnostava. – Juhlavuoden luku 90 näyttää hyvin yksinkertaiselta ja ei ehkä siis erityisen kiinnostavalta. Siitäkin saa kuitenkin monenlaista ja -tasoista pohdittavaa.
Tehtäviä
1. Etsi luvun 90 alkutekijät. Esitä se alkutekijöidensä tulona.
2. Kuinka monta muuta tekijää kuin alkutekijää luvulla 90 on?
3. Esitä luku summina eli hajotelmina, jossa kaikki yhteenlaskettavat ovat alkulukuja. Missä niistä on eniten yhteenlaskettavia?
4. Etsi luvun 90 sellaisia hajotelmia, joissa mitkään yhteenlaskettavat eivät ole samansuuruisia. Missä tällaisista hajotelmista on eniten yhteenlaskettavia?
5. Voidaanko luku 90 esittää jonkin luvun ja sen neliön summana?
6. Millä k:n arvoilla yhtälöllä x + kx = 90 on ratkaisuja?
7. x + y + z = 90, x : y = 2 : 3, y : z = 3 : 5, z = ?
8. Luku d on luvun n unitaaritekijä (engl. unitary divisor), jos d on luvun n tekijä ja d:llä ja osamäärällä n/d ei ole yhteisiä tekijöitä. Mitkä ovat luvun 90 unitaaritekijät?
9. Osoita, että luku 90 on unitaarisesti täydellinen luku (engl. unitary perfect number) eli että se on unitaaritekijöidensä (< n) summa. Tällaiset luvut ovat hyvin harvinaisia: 90 on kolmas, seurava on 87 360 ja viides on jo 24-numeroinen. Muita ei tunneta!
Dimension pulmatehtävien ratkaisut MAOL ry:n sivuilla (vain jäsenille)
