Kun oikein ratkaistu onkin väärin

Pohdinta sai alkunsa erään vanhemman viestistä sosiaalisessa mediassa. Vanhempi mietti, miksi hänen neljäsluokkalaisen lapsensa ratkaisu oli merkitty vääräksi.

Samantyyppinen, kertolaskun vaihdannaisuuteen liittyvä koevastauksen arviointikysymys toistuu somessa vähintään puolen vuoden välein, ja joka kerta keskustelu roihahtaa.

Mistä on kyse?

Viestissä kuvatussa tilanteessa lapsen vastaus on ollut täysin oikein, mutta opettaja on tulkinnut sen vääräksi lapsen kirjoitettua ratkaisuunsa kertolaskun tekijät eri järjestykseen kuin (ilmeisesti?) mallivastauksessa. Matemaattisesti kertolasku on kuitenkin vaihdannainen eli on samantekevää, missä järjestyksessä tulontekijät ovat.

Sosiaalisessa mediassa postaus sai paljon huomiota, ja sosiaalisen median tapaan jokaisella oli ainakin omasta mielestään oikea vastaus asiaan ja luonnollisesti etsittiin syyllistä.

Syyllisten etsiminen ei ole hedelmällistä – tärkeämpää on pohtia, mitkä tekijät johtavat tällaisiin tilanteisiin. Matemaattisesti oikean ratkaisun merkitseminen vääräksi voi heikentää lapsen itseluottamusta ja uskoa omiin kykyihinsä pitkäksi aikaa. Matematiikan tulisi olla innostavaa ja oivalluksia herättävää, ei ulkoa opittujen sääntöjen mekaaninen suoritusrata, jossa vain yksi ratkaisutapa hyväksytään.

Vain yhden ratkaisun salliminen voi tehokkaasti lannistaa ajattelua. Sen sijaan vaihtoehtoisten ratkaisujen arvostaminen ja niihin rohkaiseminen tukevat oppilaiden minäpystyvyyttä ja lisäävät innostusta matematiikkaa kohtaan. Tämä on linjassa opetussuunnitelman tavoitteiden kanssa, jotka korostavat oppilaiden myönteisen asenteen vahvistamista ja heidän itsevarmuutensa tukemista matematiikan oppijoina.

Opetussuunnitelman perusteissa sanotaan toisen vuosiluokan kohdalla: ”Ohjataan oppilaita ymmärtämään kertolaskun käsite konkretian avulla ja opetellaan kertotaulut 1-5 ja 10. Luodaan pohja ymmärtää jakolasku sekä kerto- ja jakolaskun yhteys. Hyödynnetään vaihdannaisuutta kertolaskussa ja tutustutaan kertolaskun liitännäisyyteen.” Nyt kyseessä on neljäsluokkalainen, vaihdannaisuuden pitäisi siis olla jo selkäytimessä.

Kertolaskun vaihdannaisuus tarkoittaa, että laskutoimituksen tekijöiden järjestyksellä ei ole merkitystä: a∙b = b∙a . Tässä esimerkkitapauksessa 9∙15= 15∙9. Neljäsluokkalaiselta voidaan jo odottaa tämän ymmärtämistä, koska kuten aiemmin todettiin, opetussuunnitelman perusteissa se mainitaan jo toisen vuosiluokan tavoitteena. Silti koulussa saatetaan vaatia tietyn esitystavan noudattamista, vaikka oppilas olisi ymmärtänyt asian matemaattisesti oikein. Vaihdannaisuus on ymmärrystä, ei virhe.

Arviointi ja oppiminen

Arvioinnin tavoitteena tulisi olla oppimisen tukeminen, innostaminen ja ajattelun kehittäminen eikä pelkkä muotoon sidottu suorittaminen. Esimerkiksi Carol Dweckin ”kasvun asenne” (growth mindset) -tutkimukset osoittavat, että kannustava ja rakentava palaute auttaa oppijoita suhtautumaan virheisiin oppimismahdollisuuksina, kun taas lannistava arviointi voi lisätä epäonnistumisen pelkoa.

Voi vain kuvitella, miltä tuntuu lapsesta, joka kokee oivaltamisen iloa ja kirjoittaa ratkaisun innoissaan, kun opettaja ei hyväksykään ratkaisua perustellen, että tulontekijät on kirjoitettu väärin päin. Jos lapsen vastaus olisi matemaattisesti väärin, sen käsittely oppilaan kanssa pedagogisesti ja onnistumisia etsien voisi auttaa lasta korjaamaan ajatteluaan. Mutta jos tehtävän virheellisyyttä ei voida matemaattisesti perustella, kuten tässä, lapsen tuohtumus on oikeutettua. Tämän tyyppisellä arvioinnilla matematiikka voi muuttua mekaaniseksi suorittamiseksi sen sijaan, että se rohkaisisi soveltavaan, luovaan ja loogiseen ajatteluun. Tämän lisäksi opettajan ja oppilaan välinen luottamus voi rikkoontua, kun on opittu toisin ja arvioidaan toisin.

Opettajilla on paljon työtä, ja kokeiden korjaamistaakka voi tuntua valtavan suurelta. Siksi yksittäisissä tehtävissä turvaudutaan usein kirjan yksiselitteisiin mallivastauksiin, eikä ehditä tarkastella, kuinka paljon oppilaan vastauksessa on oikeaa matemaattista ajattelua.  Pidemmälle mennessä jokaisen luovan lapsen keksimiä ratkaisuvaihtoehtoja ei ole aina aikaa kartoittaa. Nykytilanteessa tuntuisi mahdottomalta ehdottaa, että opettajien tulisi käyttää enemmän aikaa kokeiden korjaamiseen.

Mitä on tehtävissä? Yksi ratkaisu on lähestyä asiaa puhtaan matemaattisesti, eli kertolaskussa puhutaan tulontekijöistä, eikä kertojasta ja kerrottavasta. Jotkut pedagogit kysyvätkin omassa opetuksessaan asian useammalla tavalla: Paljonko on kolme kertaa neljä, eli neljä kolmesti? Siitä asia on helppo matemaattisesti ymmärtää.

Haluaisimme tuoda esiin näkökulman, että joustavaan matematiikkaan paneutuminen ja lasten erilaisten ratkaisujen huomioiminen voi tuoda myös opettajalle uutta sisältöä ja mielenkiintoa työhön. Aito kiinnostus lapsen matematiikan oppimista ja ajattelua kohtaan palkitsee: jokaisen ratkaisun kohdalla voi pysähtyä pohtimaan, miten oppilas on tämän päätellyt?

Jos opettaja huomaa virheellistä ajattelua, on tärkeää pyytää lasta selittämään, miten hän on ratkaisuunsa päätynyt ja sanallistamaan laskutoimituksensa. Näin virheen syy hahmottuu helpommin, ja opettaja voi ohjata ajattelua oikeaan suuntaan vihjeiden ja lisäkysymysten avulla.

Miten arvioimme: muotoa vai ymmärrystä?

Matematiikan opetuksen yksi keskeinen tavoite on kehittää oppilaiden myönteistä asennetta ja itseluottamusta matematiikan oppijoina. Jos lapsen oikea ratkaisu hylätään sen muodon vuoksi, sillä voi olla pitkäkestoisia vaikutuksia hänen minäpystyvyyteensä. Mitä pidemmälle matematiikan saralla ehditään ylemmillä luokilla, sitä tärkeämpää on hallita matemaattista ajattelua. Toivottavasti missään tilanteessa oppilas ei joudu ”poisoppimaan” vääriä ajattelumallejaan alemmilta luokilta. Vaihdannaisuuden huomiotta jättäminen voisi olla yksi tällainen tilanne.

Opettajan kannattaa kysyä oppilaalta, miten hän on ajatellut ratkaisuaan. Tämä auttaa tunnistamaan virheellisiä käsityksiä, mutta myös arvostamaan oppilaan ajattelun monipuolisuutta. Oppilaita tulisi kannustaa ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan monin eri tavoin – sanallisesti, piirtämällä ja laskulausekkeilla. Laskuesimerkeissä, joissa esiintyy kerto- ja yhteenlaskua, opettaja voi kirjoittaa laskun eri järjestykseen kuin oppilas sanoo ja todeta pilke silmäkulmassa, että ”minäpä halusin kirjoittaa sen näin päin – mitäs sanotte?” Tästä voi syntyä hauska opetuskeskustelu.

Vastaavasti jako- ja vähennyslaskuesimerkeissä opettaja voi tarkoituksella ”heittäytyä hölmöksi” ja kirjoittaa lausekkeen väärään järjestykseen. Oppilaat luultavasti heti protestoivat: ”Eihän noin voi tehdä!” – Mutta juurihan sanoitte, että järjestystä voi vaihtaa? Näin päästään taas mukavaan keskusteluun, jossa oppilaat pääsevät todistamaan opettajalle, kuinka asiat oikeasti ovat. Lapset myös muistavat tällaiset myönteiset tilanteet, joissa pääsevät neuvomaan opettajaa.

Lapsi on saattanut oppia kirjoittamaan ratkaisunsa yhtenä lausekkeena, mikä jo kertoo hänen kyvystään hallita pitempiä tehtäväkokonaisuuksia. Yksi vaihtoehto on ohjata sanallistamaan omaa ajatteluaan ja palastelemaan ratkaisu osiin, jotta kokonaisuus hahmottuu paremmin sekä oppilaalle itselleen että opettajalle. Tämä kehittää oppilaan matemaattista ajatteluprosessia ja samalla helpottaa opettajan työtä kokeiden korjausvaiheessa.

Tässä tapauksessa esimerkiksi näin

• rahaa käytettävissä 140 €
• leffaliput maksavat 9∙15 =15∙9 =135
• Rahaa jää jäljelle 140 – 135 =5
• Vastaus 5 €

Matematiikan opetussuunnitelmassa onkin tavoitteena, että lapsi oppii ilmaisemaan matemaattista ajatteluaan sekä sanallistaen, piirtäen että matemaattisin laskulausekkein, ”Matematiikan kielellä”, ja opettaja voi aina kannustaa oppilasta piirtämään alku- ja lopputilanteen hahmottamisensa avuksi.

Useimmissa tehtävissä on monia oikeita lähestymistapoja ja ratkaisustrategioita. Erilaisten mallien etsimiseen pitäisi kannustaa. Päässälaskujen ja kotitehtävien tarkastuksen yhdessä opettajan kannattaa aina kysyä, mitä erilaisia laskutapoja oppilailla on. Näistä tarkastustilanteista syntyy usein hauskoja opetustuokioita, joissa oppilaat innostuvat kuvailemaan omaa matemaattista ajatteluaan. Samalla tavoin kannattaa rohkaista oppilasta kertomaan omasta ajattelustaan silloin, kun lasku ei olekaan mennyt oikein. Näin ääneen kertomalla tapahtuu usein, että siinä kertoessaan lapsi itsekin huomaa, missä ajatteli väärin ja ajattelu korjaantuu itsestään. Oppilaan pyytäessä apua kannattaakin kysyä ensimmäisenä, mihin asti hän on päättelyssään päässyt ja missä kohden ongelma ilmaantuu. Usein kertoja hoksaakin ratkaisun ongelmaa sanallistaessaan. Tämän on varmasti jokainen matematiikkaa opettanut kokenut.

Alussa kuvatussa tehtävässä opettajan arviointia puolustettiin muun muassa sillä, että lapsi on saattanut ajatella ostettavaksi 15 kpl 9 euron pääsylippuja ja merkinnyt siksi kerrottavat luvut toiseen järjestykseen kuin opettaja ne halusi. Tätä on vaikea uskoa, mutta asia olisi selvinnyt näppärästi kysymällä. Vastaavien ongelmien välttämiseksi saattaisi myös olla hyvä käsitellä tunneilla erilaisia tapoja ratkaista asia. Oppiaineen nimi on kuitenkin matematiikka, sen pitäisi kannustaa ajattelemaan matemaattisesti oikein.

Sosiaalinen media tarjoaa ratkaisustrategioita varten paljon pohdittavaa.

Erilaisia ratkaisustrategioita – esimerkki käytännöstä

Oppitunneilla voidaan hyödyntää erilaisia lähestymistapoja, jotta oppilaat hahmottavat matematiikkaa joustavasti. Esimerkiksi Facebookin Rakastan matematiikkaa -ryhmässä esitettiin kerran seuraava tehtävä: Miten lasket päässälaskuna 3³∙5²?

Viattoman näköinen tehtävä sisältää valtavan määrän kiinnostavia mahdollisuuksia lähteä etsimään ratkaisua. Seuraavat ratkaisuesimerkit ovat peräisin Facebookin samaisesta ryhmästä, jossa tehtävä esitettiin. Lisääkin ratkaisuesimerkkejä sieltä löytyy.

Esimerkki 1

(3 ∙ 5)² ∙ 3 = 15² ∙ 3 = 225 ∙ 3 = 675

Esimerkki 2

3³∙5² = 27∙25
Huomiot, että 4∙25=100, 27=28-1 ja 28 = 4∙7
Siispä 27∙25 =7∙4∙25 – 25 =700-25 =675

Esimerkki 3 

3∙ (3∙5)²=3∙15²=3∙225=675

Esimerkki 4 

Kolme kolmanteen potenssiin on 27, viisi toiseen potenssiin on 25
25=100/2/2
lasketaan, vaiheittain 27∙100 = 2700, 
2700/2 =1350,
1350/2 = 675

Esimerkki 5

27∙25=13,5∙50=6,75∙100=675.

Esimerkki 6

3³ on 27
5² on 25 eli  ¼ 100 (neljännes sadasta).
Kun kerrotaan sadalla tuo eka ja otetaan neljännes ¼∙2700 = 675

Näinkin yksinkertaisessa tehtävässä on paljon erilaisia lähestymistapoja, joten miksi emme kannustaisi oppilaista niiden etsimiseen!

Millaisia seurauksia virheelliseksi koetusta arvioinnista voi olla oppilaalle?

Virheelliset arvioinnit voivat olla haitallisia etenkin alakouluikäisille lapsille, jotka vasta rakentavat itsetuntoaan oppijoina. Jos lapsi näkee, että hänen oikeat vastauksensa on merkitty vääriksi, se voi heikentää hänen luottamustaan omiin kykyihinsä.

Monissa alakoulun oppikirjoissa on paljon materiaalia: on oltava motivoivia ja värikkäitä kuvia asian havainnollistamisen ja ymmärtämisen avuksi, joten joustavista ja monipuolisista ratkaisuista on jouduttu tinkimään. Annetaan vihjeet vain yhdenlaiseen ratkaisumalliin, kun pitäisi vahvistaa lapsen omaa matemaattista ajattelua. Virkistäviä poikkeuksia kyllä löytyy esimerkiksi Varga-Neményin pedagogiikasta ja muualtakin. Näissä ongelmia ja tehtäviä tietoisesti lähestytään useista eri näkökulmista. Laskuesimerkeissä on jopa tehtäviä, joissa kehotetaan pohtimaan, kumpi ratkaisumalli on oikein. Opettaja voi kehottaa oppilaita ratkaisemaan ongelmia kertomalla sanallistaen, kuvilla ja lopulta matematiikan kielellä.

Kun joku on ratkaisunsa kertonut, voi kysyä, löytyykö erilaisia ratkaisutapoja. Kun erilaisia tapoja on ilmaantunut, vertailemme laskutapoja ja pohdimme, mikä ratkaisussa on erilaista ja onko malli tuottanut oikean tuloksen. On myös hyvä huomata, että oppilaat voivat keksiä sellaisiakin ratkaisutapoja, jotka eivät ole opettajalle tulleet mieleenkään. Sitä ei pidä pelätä, vaan kannustaa oppilaita kehittämään ajatteluaan edelleen. Opettajankaan ei tarvitse tietää kaikkea.

Esimerkiksi laskutehtävässä 53086 + 6224 oppilas on laskenut näin:
53086 + 6224 = 53106 + 6204 = 53110 + 6200  = 59310

Tällainen ratkaisu herätti ainakin itsessäni ällistystä, että mitä hölynpölyä, mutta tulos on oikein, mikä saakin minut ihastelemaan oppilaan ajattelua! Hyvänen aika, hän on huomannut lukuyksiköissä kymppipareja ja edennyt sen mukaisesti. Ensin on laskettu kympit yhteen, sitten ykköset yhteen ja saatukin kaksi yhteenlaskettavaa, joissa kymmenylityksiä ei tule. Tämäkin on aivan oikein laskettu, vaikkakaan ei se perinteinen tapa laskea. Kumpi on tärkeämpää, asian ymmärtäminen vai jonkin tietyn laskutavan osaaminen?

Matematiikka on ajattelun taitoa

Monissa matematiikan tehtävissä on useita oikeita lähestymistapoja ja ratkaisustrategioita. Oppilaiden tulisi saada mahdollisuus kertoa, miten he päätyivät vastaukseensa. Kun erilaisia tapoja esitellään ja vertaillaan luokassa, se paitsi lisää oppimista myös innostaa oppilaita.

Opettajan ei tarvitse hyväksyä mitä tahansa vastausta, ei ainakaan virheellistä, mutta hänen olisi tärkeää olla kiinnostunut oppilaan ajatteluprosessista. Tämä auttaa sekä korjaamaan mahdollisia väärinkäsityksiä että vahvistamaan oikeita käsityksiä.

Tämä alussa kuvattu tilannehan ei esiinny pelkästään alaluokkien koearvosteluissa. Vähän aikaa sitten silmiin osui tilanne (tämäkin Rakastan matematiikkaa -ryhmässä), jossa lukiolaisen koetehtävän suoritus oli merkitty virheelliseksi, vaikka se todellisuudessa oli oikein tai lähes oikein.

Jokainen (myös opettaja) tekee virheitä, mutta ne on hyvä tiedostaa ja tarvittaessa korjata asia. Tämä on välttämätöntä oppilaan oikeusturvan kannalta. Onhan ylioppilastutkinnossakin mahdollisuus tehdä oikaisuvaatimus, jos kokee, että suorituksen tai sen osan arvostelussa on tapahtunut virhe. Jos virhe on tapahtunut, se korjataan. 

Johtopäätöksiä

Arvioinnin joustavuus: Oppilaiden vastauksia tulisi arvioida ymmärryksen, ei vain mekaanisen muodon perusteella. Tehtävien ratkaisujen esittämistä olisi hyvä harjoitella tunneilla ja kannustaa oppilaita miettimään erilaisia tapoja ratkaista tehtävä. Ratkaisunhan ei tarvitse olla yksi lauseke, vaan sen voi jakaa osiin ja kuvata tarvittaessa sanallisesti, mitä on ajatellut. Tätä tapaa kielentää matematiikkaa tarvitaan joka tapauksessa ylemmillä luokilla, joten siitä on paljon hyötyä jatkossakin.

Minäpystyvyyden tukeminen: Oppilaat tarvitsevat kannustusta, jotta he voivat nähdä itsensä matematiikan oppijoina.

Erilaisten ratkaisumallien arvostaminen: Matematiikan oppiminen ei ole ulkoa muistamista, vaan ajattelun taitoa.

Opettajien työtaakkaa voitaisiin keventää esimerkiksi pienentämällä ryhmäkokoja tai tarjoamalla lisäresursseja arviointiin – vaikka tiedämme, ettei tämä ole yksinkertaista toteuttaa. Tekoäly ja oppimisanalytiikka voivat lähitulevaisuudessa tarjota merkittävää apua arvioinnissa. Digitaaliset oppimateriaalit voisivat jo nyt mahdollistaa monipuolisempien ratkaisumallien huomioimisen kokeiden tarkistuksessa. Arvioinnissa tulisi keskittyä enemmän oppimisprosessin ymmärtämiseen ja onnistumisten tunnistamiseen, ei pelkästään lopputuloksen oikeellisuuteen.

Opettajan kysymykset avainasemassa: Kysymällä ”Miten ajattelit tämän?” opettaja voi ohjata ja kehittää oppilaan ymmärrystä paremmin kuin hylkäämällä vastauksen muotovirheen vuoksi.

Matematiikan pitäisi olla elämän taito, jossa pohditaan, tutkitaan ja etsitään erilaisia ratkaisuja – ei vain ulkoa opeteltavia sääntöjä. Joustavan ajattelun tukeminen matematiikan opetuksessa auttaa oppilaita menestymään niin koulussa kuin elämässäkin.

Jokaisen oppilaan tulisi saada oivaltaa matematiikan ja matemaattisen ajattelun kauneus ja luovuus.

Lisää luettavaa

[1] https://matematiikkalehtisolmu.fi/2024/3/paak_3_24.pdf

[2] https://www.hs.fi/pkseutu/art-2000010914996.html

[3] https://www.hs.fi/pkseutu/art-2000010918622.html

[4] https://www.crewtonramoneshouseofmath.com/multiplicand-and-multiplier.html?fbclid=IwY2xjawIEaZhleHRuA2FlbQIxMAABHYyTHNCAnV8PWZSMfdMapep2nMruGBif5kaFjcIdN11-kD8em42AaYsGBQ_aem_wJRWAbNmZD4DrD0wRV_y5Q

[5] https://www.britannica.com/science/arithmetic#ref390238https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=wqCT2CWeQBM&fbclid=IwY2xjawIEbNBleHRuA2FlbQIxMAABHQgooohzd9AXRCfCahliK0rO8ECc6FYeEKERepbyj-niixiXTmV_zhoJKA_aem_hhp4lfLw_cxYUoq3i2_CuQ