TOINEN ASTE JA KURKISTUS KOLMANTEEN

Syksyllä 1956 aloitin 10 vuoden ikäisenä opiskelun Kemin lyseossa. Viisiluokkainen keskikoulututkinto valmistui keväällä 1961 keskinkertaisin arvosanoin. Ylitin kuitenkin niukasti lukioon vaaditun keskiarvorajan 7,5.  Syksyllä aloitin lyseon kuudennella eli lukion ensimmäisellä luokalla.

Heti lukion alussa kävimme toisen asteen yhtälöiden kimppuun lehtori Aarne ”Arska” Pietiläisen jämerällä, mutta sympaattisella ja joskus temperamenttisellakin ohjauksella. Silloinhan vuosien 1939–1945 sodat olivat vielä opettajiemme tuoreessa muistissa. Arska oli palvellut nuo vuodet rintamalla tykistöupseerina ja toisinaan sattui, että koko tunti vierähti sotamuistojen ääressä. Arskan ansiota oli, että kiinnostuin matematiikasta ja fysiikasta, jotka jäivät minulle elinikäiseksi harrastukseksi ja ammatiksikin. Olin hänen oppilaanaan kolme vuotta 1961–1964 neljässä oppiaineessa (algebrassa, geometriassa ja trigonometriassa, fysiikassa ja kemiassa). Suurin paino oli algebrassa (differentiaali- ja integraalilaskennassa) ja fysiikassa, johon sisältyi runsaasti Arskan kehittelemiä fysikaalisia kokeita. 

Omistan tämän artikkelin kunnianosoituksena Kemin lyseon matematiikan ja fysiikan opettajani Aarne Nikolai Pietiläisen (2.9.1906–26.6.1988) muistolle.

Keskeiset äärettömät lukujoukot

$ kokonaisluvut \ \ \mathbb{Z} = \{ \ldots,\ – 3,\ – 2,\ – 1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots \},\ $

$ rationaaliluvut \ \ \mathbb{Q} = \left \{ \frac{m}{n} \ \vdots \ missä \ m,n \ \mathbb{ \in Z\ \ } ja\ n \neq 0\ \right \},\ $

$ reaaliluvut \ \ \mathbb{R} = \{ kaikki ± päättyvät \ ja \ päättymättömät \ desimaaliluvut \}, $

$ kompleksiluvut \ \ \mathbb{C} = \left \{ a+b\textbf{i} \ \vdots \ missä \ a,b \ \mathbb{ \in R \ } ja\ \textbf{i}=imaginaariyksikkö \right \}. $

Lukujoukot $ \mathbb{Q} $, $ \mathbb{R} $ ja $ \mathbb{C} $ ovat lukukuntia eli ovat suljettuja peruslaskutoimitusten (yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolaskun suhteen) paitsi nollalla jakamista.

Kompleksitaso $ \mathbb{C} : $ Jokainen reaaliluku $ x $ asuu kompleksitason $ \left( x, y \right) $ pisteessä $ \left( x, 0 \right) = x. $ Jokainen Imaginaariluku $ yi $ asuu kompleksitason $ \left( x, y \right) $ pisteessä $ \left( 0,y \right) = yi. $ Yleisesti jokainen kompleksiluku $ x + yi $ asuu kompleksitason pisteessä $ \left( x, y \right) = x + yi. $ Jokainen reaaliluku $ x = x + 0i $ ja jokainen imaginaariluku $ yi = 0 + yi $ on myös kompleksiluku. Esimerkiksi piste E on kompleksiluku $ 2 + i $ ja piste E on kompleksiluku $ -3 + 2i. $ Kompleksiluvuilla laskeminen toimii kuin reaaliluvuilla, kun lisätään sääntö $ i^2 =i \cdot i = -1. $ Silloin esimerkiksi kompleksilukujen $-3 + 2i $ ja $ 5 + i $ tulo on $-17+7i$ kuten alla osoitetaan.

$ \left(-3+2 \textbf{i} \right) \left( 5+ \textbf{i} \right)=-3 \cdot 5-3 \cdot \textbf{i} +2 \textbf{i} \cdot 5+2 \textbf{i} \cdot \textbf{i}=-15+7 \textbf{i}+2 \cdot \left(-1 \right)=-17+7 \textbf{i} . $

Kaikki kunnan laskutoimitukset (yhteen-, vähennys, kerto- ja jakolasku) laskutoimitukset toimivat kompleksiluvuilla kuten reaaliluvuilla muistetaan, että $ i^2 = 1. $

NB. Vaikka yhtälön $ Ax^2 + Bx + C = 0 $ kertoimet ovat reaalilukuja $ (A, B, C \in \mathbb{R} ),$ niin sen ratkaisut $ x $ eivät aina löydy joukosta $ \mathbb{R}, $ mutta aina kuitenkin kompleksilukujoukosta, siis $ x \in \mathbb{C} $.

1. TOISEN ASTEEN REAALIKERTOIMINEN POLYNOMIYHTÄLÖ

Tarkastelemme yleistä toisen asteen yhtälöä

$ \left( 1.1 \right) \ \ \ \ Ax^2+Bx+C=0\ ,\  A\neq0, $

jossa $ x $ on tuntematon muuttuja ja kertoimet $A, B $ ja $ C $ ovat reaalilukuja eli $ A, B, C \in \mathbb{R}. $ Jaamme yhtälön $ \left( 1.1 \right) $ kertoimella $ A, $ saamme muodon $ x^2+ \left( \frac{B}{A} \right) x+ \left( \frac{C}{A} \right)=0 $ ja nimeämme kertoimet $ \frac{B}{A}=b $ ja  $ \frac{C}{A}=c, $ jolloin saamme yhtälön $ \left( 1.1 \right) $ muotoon

$ \left( 1.2 \right) \ \ \ \ x^2+bx+c=0\ , $

missä kertoimet ovat $ b, c \in \mathbb{R}. $ . Tutkimmekin jatkossa yleisen 2. asteen yhtälöä muodossa $ \left( 1.2 \right) $. Yhtälön $ \left( 1.2 \right) $ratkaisukaava on varmaan lukijalle tuttu, mutta käytän toista keinoa, jossa ei tarvitse muistaa kaavaa. Sama keino auttaa myös kolmannen asteen yhtälön ratkaisemisessa. Teemme yhtälöön $ \left( 1.2 \right) $ sijoituksen $ x = y – \frac{b}{2}. $ Silloin muuttuja $ x$ vaihtuu muuttujaksi $ y $ ja sitä sitoo yhtälö $ \left( y – \frac{b}{2} \right) ^2 + b \left( y – \frac{b}{2} \right) + c = 0. $ Tämä yhtälö sievenee muotoon

$ \left( 1.3 \right) \ \ \ \ y^2- \left( \frac{b^2}{4}-c \right) = 0, $

josta saamme muuttujalle $ y $ kaksi arvoa $ \ y= \pm \sqrt{ \frac{p^2}{4}-q \ } $ ja edelleen alkuperäiselle muuttujalle $ x $ saamme $ \ x=y- \frac{b}{2}= \pm \sqrt{ \frac{b^2}{4}-c\ }-\frac{b}{2} $ ja edelleen tutun toisen asteen yhtälön $ \left( 1.2 \right) $ ratkaisukaavan

$ \left( 1.4 \right) \ \ \ \ x=- \frac{b \pm \sqrt{b^2-4c\ }}{2}\ . $

Neliöjuuren alla on yhtälön $ x^2+bx+c=0 $ kertoimista muodostettu lauseke $ D=b^2-4c $, joka on yhtälön diskriminantti  D. Nyt toisen asteen yhtälön ratkaisut voidaan kirjoittaa muotoon

$ \left( 1.5 \right) \ \ \ \ x_1=- \frac{b+ \sqrt{D\ }}{2}\ \ \ $ ja $ \ \ \ \ x_2=- \frac{b- \sqrt{D\ }}{2}\ . $

Lisäksi näemme, että yhtälön $ x^2+bx+c=0 $ ratkaisujen $ x_1, \ x_2 $ erotus on

$ \ \ x_1-x_2= \left(- \frac{b+ \sqrt{D\ }}{2} \right)- \left(- \frac{b- \sqrt{D\ }}{2} \right)= \sqrt{D\ } $

ja saamme diskriminantille $ D $ myös lausekkeen yhtälön ratkaisujen avulla

$ \left( 1.6 \right) \ \ \ \ D= \left( x_1-x_2 \right) ^2\ . $

Yhtälön diskriminantti voidaan siis esittää sekä kertoimien että ratkaisujen avulla

$ \left( 1.7 \right) \ \ \ \ D=b^2-4c= \left( x_1-x_2 \right) ^2 \ . $

ESIMERKKI 1.1. Ratkaise alla olevat yhtälöt (a) – (d).

$ \textbf{(a)} \ \ x^2+2x-3=0 $

Diskriminantti $ D=b^2-4c=2^2-4 \cdot \left( -3 \right) = \ \textbf{16}. $ Kaavan $ \left( 1.6 \right) $ perusteella

$ \ \ x_1=- \frac{b+ \sqrt{D\ }}{2}=- \frac{2+ \sqrt{16\ }}{2}=-3, \ \ \ x_2=- \frac{b- \sqrt{D \ }}{2}=- \frac{2- \sqrt{16 \ }}{2}=-1 \ . $

Yhtälöllä $ x^2+2x-3=0 $ on kaksi erisuurta reaalista ratkaisua: $ x_1=-3 $ ja $ x_2=-1. $

$ \textbf{(b)} \ \  x^2+6x+9=0 $

Diskriminantti $ D=b^2-4c=6^2-4 \cdot 9= \ \textbf{0}. $ Kaavan $ \left( 1.6 \right) $ perusteella

$ \ \ x_1=- \frac{b+ \sqrt{D\ }}{2}=- \frac{2+ \sqrt{0\ }}{2}=-1,\ \ \ x_2=- \frac{b- \sqrt{D\ }}{2}=- \frac{2- \sqrt{0\ }}{2}=-1\ . $

Yhtälöllä $ x^2+6x+9=0 $ on yksi kaksinkertainen ratkaisu: $ x_1=x_2=-1. $ 

$ \textbf{(c)} \ \  x^2-3=0 $

Diskriminantti $ D=b^2-4c=0^2-4 \cdot \left( -3 \right) = \ \textbf{12}. $ Kaavan $ \left( 1.6 \right) $ perusteella

$ \ \ x_1=- \frac{0+ \sqrt{12\ }}{2}=- \sqrt3,\ \ \ x_2=- \frac{0- \sqrt{12\ }}{2}= \sqrt3\ . $

Yhtälöllä $ x^2-3=0 $ on kaksi ratkaisua: $ x_{1,2}= \pm \sqrt3 \ . $

$ \textbf{(d)} \ \  x^2+6x+13=0 $

Diskriminantti $ D=b^2-4c=6^2-4 \cdot 13=- \ \textbf{16}. $ Kaavan $\left( 1.6 \right) $ perusteella

$ \ \ x_1=- \frac{6+ \sqrt{-16\ }}{2}=- \frac{6+4 \textbf{i}}{2}=-3-2 \textbf{i}, \ \ \ x_2=- \frac{6-\sqrt {-16\ }}{2}=- \frac{6-4 \textbf{i}}{2}=-3+2 \textbf{i} \ . $

Yhtälöllä $x^2+6x+13=0 $ on kaksi ratkaisua, kompleksiset liittoluvut: $ x_{1,2} =-3 \pm2 \textbf{i} \ \in \mathbb{C}. $

2. DISKRIMINANTTI JA YHTÄLÖN $ x^2+bx+c=0 $   RATKAISUT

Esimerkki 2.1. Havaintojen perusteella näyttää siltä, että yhtälön $ x^2+bx+c=0 $ diskriminantti määrää ratkaisujen luonteen seuraavasti:

Yhtälöillä $ \textbf{(a)} \ x^2+2x-3=0 $  ja $ \textbf{(c)} \  x^2-3=0 $ diskriminantti on positiivinen (16 ja 12). Molemmilla on kaksi erisuurta reaalista ratkaisua $ x_1 \neq\ x_2 $ eli $ \textbf{(a)} -3 $ ja  $ -1,   \textbf{(c)} -\sqrt3 $  ja $ + \sqrt3. $

Yhtälön $ \textbf{(b)} \ x^2+6x+9=0 $ diskriminantti on nolla ja yhtälöllä on vain yksi ratkaisu $ -1, $ tai kuten sama asia toisinaan ilmaistaan, että yhtälöllä on kaksi yhtä suurta $ -1 $ ja $ -1. $

Yhtälön $ \textbf{(c)} \ x^2+6x+13=0 $  diskriminantti on negatiivinen ja tällä yhtälöllä on kaksi kompleksilukuratkaisua, jotka ovat liittolukuja, kuten kohdassa $ \textbf{(d)} -3+2 \textbf{i} $  ja $ -3-2 \textbf{i}. $

LAUSE 2.1. 

Olkoon $ x^2+bx+c=0 $ yhtälö, jossa kertoimet $ b $ ja $ c $ ovat reaalilukuja. Olkoon yhtälön diskriminantti $ D=b^2-4c= \left( x_1-x_2 \right) ^2. $  Yhtälön ratkaisut $ x_1 $ ja $ x_2 $ ovat:

$ \textbf{(i)} $  jos $ D>0, $ niin $x_1,x_2 \in \mathbb{R} $  ja ratkaisut $ x_1 \neq \ x_2 $ ovat kaksi erisuurta reaalilukua,

$ \textbf{(ii)} $ jos $ D<0, $ niin ratkaisut $ x_1,x_2 \in \mathbb{C} $  ovat liittolukuja $ x_1=r_1+r_2 \textbf{i} $  ja $ x_2=r_1-r_2 \textbf{i}, $ 

$ \textbf{(iii)} $ jos $ D=0, $ niin ratkaisut $ x_1,x_2 \in \mathbb{R} $ ja ovat samat eli $ x_1=x_2. $

Todistus:

$ \textbf{(i)} $ Alussa johdimme yhtälölle $ x^2+bx+c=0 $ ratkaisukaavat

$ \left( 1.5 \right) \ \ \ \ x_1=- \frac{b+ \sqrt{D\ }}{2} \ \ \ ja \ \ \ \ x_2=- \frac{b- \sqrt{D\ }}{2}\ .\ $

Jos $ D>0, $ niin $ \sqrt{D \ } \neq0 $ ja ratkaisut $ x_1,x_2 \in \mathbb{R} $ ovat kaksi erisuurta reaalilukua.

$ \textbf{(ii)} $  Jos $ D<0, $ niin $ \sqrt{D \ } \neq0 $ on kompleksiluku ja yhtälön ratkaisut ovat liittolukuja $ x_{1,2} = r_1 \pm \ r_2 \textbf{i}, $ missä $ r_1 $ ja $ r_2 $ ovat reaalilukuja ja  $ r_2 \neq0. $

$ \textbf{(iii)} $ Jos $ D=0,$ niin $ \sqrt{D \ }=0 $ ja yhtälöllä on yksi ratkaisu $ x_{1,2} =- \frac{p}{2} \in \mathbb{R} . $
MOT.

3. KURKISTUS KOLMANNEN ASTEEN YHTÄLÖÖN

Yleinen kolmannen asteen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

$ \left( 3.1 \right) \ \ \ \ x^3+bx^2+cx+d=0\ , $

jossa johtavan termin $ x^3 $ kerroin on $ 1 $ ja kertoimet $ b, \ c, \ d $ ovat reaalilukuja. Yhtälöä voidaan yksinkertaistaa samalla tavalla kuin toisessakin asteessa. Kevensimme yhtälöä $ x^2+bx+c=0 $  sijoituksella $ \left( 1.2 \right)  x=y- \frac{b}{2} $ ja saimme yhtälöllemme muodon $ \left( 1.3 \right) \ \ y^2- \left( \frac{b^2}{4}-c \right) =0. $

Samaan tapaan teemme yhtälöön $ \left( 3.1 \right) $ sijoituksen $ x=y- \frac{b}{3} $ ja saamme

$ \ \ x^3+bx^2+cx+d= \left( y- \frac{b}{3} \right) ^3+b \left( y- \frac{b}{3} \right) ^2+c \left( y-\frac{b}{3} \right) +d, $

jossa kukin osa sievenee 

$ \ \ \left( y- \frac{b}{3} \right) ^3=y^3-by^2+ \frac{1}{3}b^2y- \frac{1}{27}b^3, $

$ \ \ {b \left( y- \frac{b}{3} \right) }^2={by}^2- \frac{2}{3}b^2y+ \frac{1}{9}b^3, $

$ \ \ c \left( y- \frac{b}{3} \right) +d=cy-c \frac{b}{3}+d, $

joten

$ \ \ x^3+bx^2+cx+d=y^3+ \left( – \frac{1}{3}b^2+c \right) y+ \left( \frac{2}{27}b^3- \frac{bc}{3}+d\right). $

Nimeämme sulkeissa olevat vakiot: 

$ \ \ \left( – \frac{1}{3}b^2+c \right) =p\ \ \ \ ja\ \ \ \ \left( \frac{2}{27}b^3- \frac{bc}{3}+d \right) =q, $

jolloin

$ \ \ x^3+bx^2+cx+d=y^3+py+q. $

Yleinen yhtälö  $ \left( 3.1 \right) \ \ x^3+bx^2+cx+d=0 $ saadaan sijoituksella $ x=y- \frac{b}{3} $ muotoon

$ \left( 3.2 \right) \ \ \ \ \ y^3+py+q=0\ . $

Yhtälö $ \left( 3.2 \right) $ on vaillinainen 3. asteen yhtälö. Jos vaillinaiselle yhtälölle $ \left( 3.2 \right) $ löytyy ratkaisu $ y $, niin yleisen yhtälön $ \left( 3.1 \right) $ ratkaisu on $ x=y-\frac{b}{3}. $

Vaillinaisenkin yhtälön $ \left( 3.2 \right) $ ratkaiseminen vaatii uusia ideoita. Niitä toki löydettiin jo 1500-luvulta alkaen ja hajanaisesti aikaisemminkin, mutta niiden esittely ei mahdu tähän varattuun tilaan. 

Lähteet

[1] Bewersdorff, Jörg : Galois Theory for Beginners, A Historical Perspective. AMS 2006.

[2] Cox, David A. :  Galois Theory, Wiley, 2012