Pallogeometrian perushahmotusta, osa 6
Pallomonikulmion pinta-ala on määritelty monikulmion kulmien summan avulla sarjan aikaisemmissa osissa. Pinta-alan laskemiseen on muitakin keinoja.
Pallokuviot ovat pallopinnan alueita. Pallon keskipisteestä alueen reunaviivalle piirretyt suorat määrittävät kartion (kuva 1). Sen sisään jäävä alue on avaruuskulma. SI-opas määrittelee avaruuskulman suureena $$\Omega=\frac{A}{r^2},$$ siis pallopinnasta kartion sisään jäävän alueen pinta-ala jaettuna säteen neliöllä. Määritelmä on muodoltaan samanlainen kuin radiaaneissa annetun kulman määritelmä.
Yksikköpallolla avaruuskulman sisään jäävän alueen pinta-alan mittaluku on sama kuin avaruuskulman suuruuden mittaluku. Tulos on mittayksikötön suhdeluku, mutta jos halutaan korostaa, että kyseessä on avaruuskulman arvo, niin lisätään yksiköksi steradiaani.
Pallon pinnalla oleva ”yksikköpalloneliö”, siis säännöllinen pallonelikulmio, jonka sivu on yksi, ei käy pinta-alan yksiköksi niin kuin neliö käy tasogeometriassa. Ensinnäkään niitä ei voi latoa vierekkäin pallopinnan peitoksi, sillä palloneliön kulma on aina suurempi kuin 90°, joten niitä ei mahdu neljää kulmittain. Toiseksi jokainen palloneliö tarvitsisi reunoikseen uudet isoympyrät, sillä tiettyä palloneliötä rajoittavat isoympyrät lähestyvät toisiaan eikä sen viereen samojen isoympyröiden väliin piirretyn mahdollisimman säännöllisen pallonelikulmion neljäs sivu olekaan yhtä pitkä kuin muut sivut (kuva 2).
Esimerkiksi yksikköpallolle piirretyn palloneliön kulmat ovat Geogebran antaman likiarvon mukaan noin 1,8738 (radiaania) ≈ 107°, kun sivu on 1 (kuva 3). Silloin sen pinta-ala on noin 4 · 1,8738 – 2π ≈ 1,212 eli vähän vajaa kymmenesosa (9,6
Tarkistuksen vuoksi on hyvä todeta, että palloneliön pinta-alalle on johdettu lauseke pintaintegraalin avulla Simo Kivelän kirjan Vektorimuuttujan analyysi (Otatieto 2001) luvussa 1.3. Menetelmä on työläämpi ja käyttää vahvempia matematiikan työvälineitä, mutta antaa neljän numeron tarkkuudella saman tuloksen kuin edellä. Ei siis niinkään huono tarkkuus ”kuvasta katsottuna”.
”Palloympyrä” eli pallon pinnalla olevan ympyrän rajoittama alue on pallokalotti. Sen pinta-alalle on alkeisgeometrian kaava A = 2πrh. Jos esimerkiksi palloympyrän kehä kulkee edellä tarkastellun palloneliön kärkien kautta (kuva 3), niin ympyrän pallosäde on noin 0,74 ja sen pinta-ala on noin 1,64. Kaava antaa oikean tuloksen myös siinä tapauksessa, että ”kalotin” pallosäde on suurempi kuin isoympyrän neljännes aina siihen asti, että kalotti täyttää koko pallopinnan.
Avaruuskulmaa on joskus pidetty vaikeana käsitteenä niin kuin muuten koko pallogeometriaakin. Kyse on kuitenkin osin tottumuksen puutteesta ja osin siitä, että vaikeusaste kasvaa välttämättä rakenteellisen hahmotuksen hierarkkiseen etenemisen mukana. Muinaisilta babylonialaisilta peräisin oleva 360-jakoinen ympyrä on hivuttautunut osaksi arkikulttuuria vuosituhansien aikana. Radiaaniin ei sen sijaan törmää arkipäivässä, saati steradiaaniin. Siksi niihin ei liity hahmottamista helpottavia konkreettisia mielikuvia.
Avaruuskulman omaksumista arkikäyttöön hankaloittaa myös se, että sen yksikkö steradiaani on kovin iso. Se pitää sisällään lähes kuudenneksen näkyvästä taivaasta tai sisältää pallokartalla koko Euroopan (kuva 4). Sateenkaari on osa ympyrää, jota vastaava avaruuskulma on noin 1,6 steradiaania.
Taivaan tärkeimpien kohteiden koon ilmoittamiseen steradiaani on järjettömän iso, sillä esimerkiksi maasta katsottua täysikuuta vastaava avaruuskulma on vajaa kymmenestuhannesosa steradiaania. Niinpä auringon tai kuun näennäistä kokoa ei yleensä ilmoiteta steradiaaneina, vaan useimmiten edelleen babylonialaiseen tapaan kulmaläpimittana: noin puoli (tasogeometrian kulma-)astetta.
Aloituskuva: Nagy Arnold / Unsplash
Edelliset osat:
Pallogeometria – Osa 5
Pallogeometria – Osa 4
Pallogeometria – Osa 3
Pallogeometria – Osa 2
Pallogeometria – Osa 1
