Avaruuden dimensioista

Miksi avaruudessamme on vain kolme ulottuvuutta? Tällä kysymyksellä aloitti Paul Ehrenfest vuonna 1918 ilmestyneen julkaisunsa In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions? [Ehr1918] Hän pohti, voisivatko tuntemamme luonnonlait toimia myös avaruuksissa, joissa on enemmän kuin kolme paikkaulottuvuutta.

Osoittavatko luonnonlait avaruuden kolmiulotteiseksi?

Me käytämme avaruuden mittaamiseen matkaa, pinta-alaa ja tilavuutta. Kolmiulotteiselle avaruudelle ne riittävät, neljännen ulottuvuuden vaatimaa hypertilavuutta emme tunne tarvitsevamme luonnossa havaitsemiemme ilmiöiden ja asioiden ymmärtämiseen.

Ehrenfest kysyi, osoittavatko luonnonilmiöt meidän elävän nimenomaan kolmiulotteisessa avaruudessa? Ehrenfest  tarkasteli tutkimuksessaan Newtonin painovoimalakia, planeettojen liikettä ja sähkömagneettisia kenttiä n-ulotteisessa euklidisessa paikka-avaruudessa, R_n:ssä. Hänen tuloksensa olivat mielenkiintoisia.

Newtonin painovoimalain mukaan planeetan (massa m) ja Auringon (massa M) välinen gravitaatiovoima on kolmiulotteisessa avaruudessa tunnetusti

$ F\left(r\right)=G\frac{mM}{r^2} $

ja gravitaatiopotentiaali vastaavasti

$ V\left(r\right)=-G\frac{mM}{r^2}=\int_0^rF\left(r\right)dr $

Newton osoitti teoksessaan Luonnonfilosofian matemaattiset periaatteet, että tällainen planeetan ja Auringon välisen etäisyyden $ r $ käänteiseen neliöön verrannollinen voima saa planeetat liikkumaan Auringon ympäri ympyrä- tai  ellipsiratoja pitkin. Laki siis selitti Johannes Keplerin tekemät vallankumoukselliset havainnot planeettojen liikkeistä.

Ehrenfest yleisti Newtonin painovoimalain $ n $-ulotteiseen avaruuteen $ (n≥3) $, jolloin yhtälöt ovat

$ F_{\left(n\right)}\left(r\right)=G\frac{mM}{r^{n-1}} $,

$ V_{\left(n\right)}\left(r\right)=-G\frac{mM}{\left(n-2\right)r^{n-2}} $.

Kun Ehrenfest ratkaisi näihin perustuvat planeetan liikeyhtälöt

$ m\frac{d^2x_i}{dt^2}=-\frac{dV_{\left(n\right)}}{dx_i}{,}\ \left(i=1…n\right) $,

hän totesi, että kolmiulotteisessa avaruudessa planeettojen ympyrä- ja ellipsiradat ovat mahdollisia mutta kun ulottuvuuksia on neljä tai enemmän, radat eivät ole suljettuja, vaan ne vievät planeetan joko  Aurinkoon tai ulos aurinkokunnasta. Havaintojen mukainen stabiili planeettajärjestelmä näyttää siis vaativan kolmiulotteista avaruutta. (Amerikkalainen Frank Tangherlini osoitti myöhemmin, että tämä tulos ei muutu, kun euklidisesta avaruudesta siirrytään Einstein yleisen suhteellisuusteorian mukaiseen kaarevaan avaruuteen [Tan1963].)

Ehrenfest tarkasteli tutkielmassaan myös sitä, voidaanko avaruuden dimensio päätellä Niels Bohrin muutama vuosi aikaisemmin esittämästä atomin kvanttiteoriasta. Hän osoitti, että Bohrin atomimallin mukaiset elektronin radat ovat mahdollisia vain kolmiulotteisessa avaruudessa. Painovoimalakia koskeneiden tuloksen valossa tämä ei ollut yllättävää, sillä elektronin liike stabiililla Bohrin radalla on liikeopillisesti samankaltaista kuin planeetan liike Auringon ympäri.

Kun planeettojen liikettä tarkastellaan Newtonin painovoimalain avulla (tai elektronin liikettä atomissa klassisesti, kuten Bohrin atomimallissa tehdään), saadaan kokonaisenergialle $ E_{\left(n\right)} $ $ n $-ulotteisessa paikka-avaruudessa lauseke

$ E_{\left(n\right)}=T_{\left(n\right)}+V_{\left(n\right)}=\frac{\left(n-4\right)}{\left(n-2\right)}T_{\left(n\right)} $.

Tässä $ T_{\left(n\right)} $ on planeetan liike-energia ja $ V_{\left(n\right)} $ potentiaalienergia. Potentiaalienergia on normitettu nollaan äärettömyydessä, muualla se on negatiivinen. Jotta planeetta olisi sidottu liikkumaan suljetulla radalla Auringon ympäri, pitää sen kokonaisenergian $ E_{\left(n\right)} $ olla negatiivinen. Toisin sanoen sen pitää olla painovoiman aiheuttamassa potentiaalikuopassa. Jos näin ei olisi, planeetta karkaisi Auringon vaikutuspiiristä.

Yhtälöstä näemme, että neliulotteiset ja sitä moniulotteisemmat avaruudet eivät täytä tätä ehtoa. Niissä planeettojen liikettä ei voi selittää Newtonin painovoimalain kaltaisella matemaattisella mallilla. Sen sijaan kolmiulotteisessa avaruudessa yllä oleva yhtälö kertoo, että $ E = T +V = –T $ eli kokonaisenergia on negatiivinen ja planeetta pysyy Aurinkoa kiertävällä radalla.

Samalla tavalla ovat elektronin radat atomissa stabiileja, kun $ n = 3 $, mutta epästabiileja, kun $ n ≥ 4 $. (Neliulotteisessa avaruudessa $ E_{\left(n\right)} = 0 $, mutta vastaava radan säde on ääretön eikä rataa voida pitää sidottuna.)

Kun Bohrin atomimalli korvataan kvanttimekaanisella mallilla, edellä oleva yhtälö korvautuu yhtälöllä [Rab2014]

$ E_{\left(n\right)}=\frac{\left(n-4\right)}{\left(n-2\right)}\mathcal{F}_{\left(n\right)} $

jossa $ \mathcal{F}_{\left(n\right)} $ on eräs luonnonvakioista, ytimen varausluvusta, elektronin massasta, atomin energiatilan pääkvanttiluvusta ja avaruuden dimensioiden lukumäärästä riippuva funktio. $ \mathcal{F}_{\left(n\right)} $:n lauseke on tässä yhteydessä epäoleellinen, tärkeintä on tietää, että funktio on liike-energian tavoin arvoltaan ei-negatiivinen. Klassisen tarkastelun johtopäätöksen avaruuden ulottuvuuksien lukumäärästä pätevät siis myös kvanttimekaniikassa.

Viides ulottuvuus

Fyysikot ovat varsinkin viime vuosikymmeninä luoneet matemaattisia malleja, joissa avaruudessa on ulottuvuuksia enemmän kuin kolme. Tämä liittyy siihen, että gravitaation tapaan myös kolme muuta luonnon perusvuorovaikutusta – sähkömagneettinen, vahva ja heikko vuorovaikutus – pyritään esittämään avaruuden ominaisuuksina.

Ensimmäisen askeleen tähän suuntaan otti suomalainen Gunnar Nordström vuonna 1914 ilmestyneessä julkaisussaan, jonka otsikko suomennettuna kuului ”Mahdollisuudesta yhdistää sähkömagneettinen kenttä ja gravitaatiokenttä”. Nordström oli kehittänyt vuonna 1913 ensimmäisen neliulotteisen aika-paikka-avaruuden kaareutumiseen perustuvan suhteellisuusteoreettisen gravitaatioteorian [Nord1913].  Tämä oli Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian edeltäjä ja vakavin kilpailija. Nordström jatkoi tämän teoriansa tutkimista lisäämällä aika-paikka-avaruuteen viidennen ulottuvuuden, eli hän siirtyi paikka-avaruudesta R₃ avaruuteen R₄.

Nordström huomasi teoriansa sisältävän paitsi hänen gravitaatioteoriansa myös James Clerk Maxwellin sähkömagnetismin teorian. Nordströmin teoriassa kolme paikkaulottuvuutta liittyvät gravitaatioon ja viides ulottuvuus sähkömagnetismiin ja sähkövarauksen säilymiseen. Kun otetaan aika huomioon, Nordströmin tutkima avaruus oli viisiulotteinen.

Ehrenfestin yhtenä kimmokkeena omaan tutkimukseensa saattoi olla tämä Nordströmin tulos.  Nordström asui tuohon aikaan, vuodesta 1916 vuoteen 1919,  Ehrenfestin luona Leidenissa siirryttyään sinne sotaa pakoon Saksasta. Elokuussa 1916 Ehrenfest kirjoitti päiväkirjaansa: ”Lämmin ilta puutarhassa. Keskustelimme Nordströmin kanssa elektrody­namiikan yhtälöiden yleistämisestän-ulotteiseen avaruuteen, sähkövarauk­sen ja painavan massan välisestä yhteydestä gravitaatioteoriassa sekä Hyper-Maxwellin-teoriasta R₄:ssä ja yleistyksistä R_n:ssä.” [Nort2005]

Saksalainen Theodor Kaluza toisti Nordströmin ajatuksen vuonna 1919 yleistämällä Einsteinin yleisen suhteellisuusteorian viisiulotteiseen aika-paikka-avaruuteen [Kal1921]. Hän oli tietämätön Nordströmin aikaisemmasta työstä. Ruotsalainen Oskar Klein osoitti, että ylimääräisen paikkaulottuvuuden ei tarvitse ulottua äärettömyyteen kuten muut dimensiot  [Kle 1926]. Se voi olla jaksollinen ja  käpertynyt niin pieneksi, ettei sen olemassaolo ilmene muuten kuin sähkömagnetismina.

Kymmenen ulotteinen aika-paikka-avaruus?

Kaluzan ja Kleinin teoria, ja varsinkin Nordströmin teoria, jäivät pitkäksi aikaa unohduksiin. Ne nousivat uudelleen esille vasta 1980-luvulla, kun alettiin kehitellä niin kutsuttua supersäieteoriaa. Supersäieteorialla pyritään kuvaamaan gravitaation ja sähkömagnetismin lisäksi myös heikon ja vahvan vuorovaikutuksen eli kaikki tunnetut perusvuorovaikutukset. Aineen ajatellaan sen mukaan perustuvan pienen pienten säikeiden värähtelyihin. Teoriassa on kuusi ylimääräistä paikkaulottuvuutta, joiden ajatellaan muodostavan Kleinin ajatuksen mukaisen kompaktin avaruuden. Uudet ulottuvuudet ilmenevät vain vuorovaikutuksina ja ehkä uusina hiukkaslajeina, mutta eivät sekoita meidän kuvaamme kolmiulotteisesta avaruudesta.

Kalvoteoriassa, joka sekin perustuu supersäikeisiin, me elämme kymmenulotteisessa aika-paikka-avaruudessa olevalla neliulotteisella aika-paikka-kalvolla. Alkeishiukkaset on rajoitettu liikkumaan tällä pinnalla, ja vuorovaikutuksista ainoastaan gravitaatio vaikuttaa myös ylimääräisissä ulottuvuuksissa. Gravitaatio on hyvin heikko vuorovaikutus muihin vuorovaikutuksiin verrattuna; kalvoteoria selittää tämän epäsuhdan johtuvan juuri siitä, että sen vaikutus pääsee osittain vuotamaan kalvoltamme muihin ulottuvuuksiin. [ks. esim. Maa2024]

Supersäieteorioita on kehitelty jo vuosikymmeniä, mutta kokeellisten todisteiden puuttuessa niiden todenperäisyydestä ei voida olla varmoja. Epätietoisuus avaruuden dimensioiden lukumäärästä painaa mieliämme ehkä vielä pitkäänkin.

Viitteet

[Ehr1918] P. Ehrenfest, In what way does it become manifest in the fundamental laws of physics that space has three dimensions? Kon. Akad. Wetens. Amsterdam. Proc. Sec. Sci. 20, pp. 200-209 (1918).

[Hal2004] P. Halpern, Nordström, Ehrenfest, and the Role of Dimensionality in Physic, Phys. Perspect. 6, 390–400 (2004).

[Kal1921] Theodor Kaluza, Zum Unitätsproblem in der Physik, Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Math. Phys.), 966–972 (1921). 

 [Kle 1926] Oskar Klein, Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie, Zeitschrift für Physik A 37 (12), 895–906 (1926).

[Maa2024] Jukka Maalampi, Painovoima – Kuinka ihminen on oppinut ymmärtämään maailmankaikkeutta, Ursa (2024).

[Nord1913] Gunnar Nordström, Zur Theorie der Gravitation vom Standpunkt des Relativitätsprinzips, Annalen Phys., vol. 347, no. 13, 533-554(1913).

[Nord1914] Gunnar Nordström, Über die Möglichkeit, das Elektromagnetische Feld und das Gravitationsfeld zu vereiningen, Phys.Z.vol. 15, 504-506 (1914).

[Nort2005] John Norton, Einstein, Nordström and the Early Demise of Scalar, Lorentz Covariant Theories of Gravitation, teoksessa The Genesis of General Relativity (toim. J. Renn), vol 3, Kluwer Academic Publishers (2005).

[Rab2014] Mario Rabinovitz, Why Observable Space is Solely Three Dimensional, Adv. Studies Theor. Phys Vol. 8, 2014, no. 17, 689-700 (2014)

[Tan1963] F.R. Tangherlini, Schwarzschild Field in n Dimensions and the Dimensionality of Space Problem, Il Nuovo Cimento, Vol XXVII, N. 3, 636 (1963).