Matemaattisia taikoja ja variaatioita muistilehtiöstäni, osa 1: Pakottavia taulukoita ja paradoksipapereita

Opetus

8.9.2022

Olen kirjoittanut neljä kirjaa matemaattisista taikatemppuista. Neljäs on ilmestynyt juuri, syyskuussa 2022. Viides kirja tulee käsittelemään pelikorttipakan matematiikkaa. Lisäksi olen julkaissut maailman suurimman taikurilehden The Linkin Ringin huhtikuun numerossa (April 2022) temppuparaatin matemaattisista taikatempuista. Näistä kaikista saan tehtyä ainakin kuusiosaisen sarjan, jossa tutustumme temppuihin ja ideoihin, jotka olen muistiinpanoistani muokannut tätä lehteä varten. Jos sinulla on jokin tai kaikki kirjani, tulet näkemään uusia ideoita tai tuttuja ideoita uudesta näkökulmasta. Jos et ole vielä tutustunut kirjoihini, sinulle selviää mukavasti, mistä niissä on kysymys.

Uusin kirjani on Pakottavia taulukoita ja paradoksipapereita: 85 matemaattista taikatemppua – työkaluja hauskempaan opetukseen ja mystisempään taikuuteen (MFKA-Kustannus 2022).

Kirjassa on oma kappaleensa Numeronopista, ja siitä, miten voit laatia (laskea) sellaiset itsellesi. Tässä jutussa teemme taikatempun viiden nopan sarjalla ja tutkimme hiukan, miten nopat on tehty. Asiatiedot Numeronopista löytyvät kirjastani, tosin paljon laajemmin ja monipuolisemmin, mutta perusidea selviää tästäkin. Jutussa olevan noppasarjan olen laatinut Dimensiota varten. Kirjassakin on myös viiden numeronopan sarja, parikin sellaista, mutta erilaisilla kolminumeroisilla luvuilla.

Numeronopat

Numeronopalla tarkoitetaan tässä yhteydessä kuusitahoista arpakuutiota, jonka jokaisella taholla on kolminumeroinen luku. Yhden arpakuution jokaisessa tahossa oleva kolminumeroinen luku on erilainen. Viiden nopan sarjassa kaikkien noppien tahojen luvut ovat myös erilaiset.

viisi noppaa, joissa kolminumeroisia lukuja

Ensimmäinen temppu

Numeronoppien taikatempun idea on yksinkertainen. Katsoja heittää tai asettaa nopat pöydälle. Katsojien tehtävänä on laskea noppien päällimmäiset luvut yhteen. Kaikki apuvälineet ovat luvallisia. Taikuri on jo samassa kirjoittanut tuloksen paperille, ennen kuin muut ehtivät edes aloittamaan laskuohjelman käytön. Katsojien tehtäväksi tulee tarkistaa laskimillaan, että taikurin kirjoittama nelinumeroinen luku on todella viiden kolminumeroisen luvun summa.

Toinen temppu

Taikuri myöntää, että tuo äskeinen oli vain hyvää laskutaitoa. Siinä ei ollut taikuutta. Taikuri kirjoittaa paperille jotakin, taittelee paperin ja antaa sen yhdelle katsojista huolehdittavaksi. Taikuri ilmoittaa, että lapussa on ennustus. Taikuri toteaa, että pöydällä olevista nopista voidaan nähdä kaikki muut tahot, mutta ei sivuja, jotka ovat pöytää vasten. Taikuri pyytää katsojia kääntämään noppien pöytää vasten olevat sivut ylöspäin. Taas taikuri pyytää katsojia laskemaan yhteen näkyviin tulleiden kolminumeroisten lukujen summan. Taikuri ei kuitenkaan itse tunnu osallistuvan kilpailuun. Kun katsojat saavat laskettua käännettyjen noppien luvut yhteen, taikuri muistuttaa, että ennen noppien kääntämistä hän antoi yhdelle katsojista paperilapun. Katsoja ottaa esille hänelle annetun paperin ja avaa sen. Siinä on kolminumeroinen luku. Se on sama kuin minkä katsojat saivat toisella kierroksella noppien kolminumeroiden lukujen summaksi.

Selityksiä, ensimmäinen temppu

Taikuri laskee yhteen jokaisen nopan kolminumeroisten lukujen ykköset, viimeiset luvut. Tästä tulee nelinumeroisen summan kympit ja ykköset.

Kaksi seuraavaa numeroa (sadat ja tuhannet) saadaan, kun viidestäkymmenestä vähennetään ykkösten summa.

Jokaisen nopan kolminumeroisten lukujen keskimmäinen luku on sama. Viiden nopan kymmenien, eli keskimmäisten lukujen summa on aina sama (4+5+6+7+8=30). Tämä kohta yhteenlaskussa ei häiritse ykkösistä tulevaa kaksinumeroista summaa.

Esimerkki: katsojan heittämien noppien silmäluvut ovat 743, 772, 453, 964 ja 385. Jos tarkistat asian taskulaskimella, summa on 3317.

Taikuri laskee kolminumeroisten lukujen viimeiset numerot (ykköset) yhteen (3 + 3 + 3 + 4 + 4 = 17).

17 on sellaisenaan noppien lukujen summan kympit ja ykköset. Tämä vähennetään luvusta viisikymmentä, josta saadaan sadat ja tuhannet. 50 – 17 = 33. Taikurikin saa silmälukujen summaksi 3317.

Selityksiä, toinen temppu

Kolminumeroiset luvut on sijoitettu noppiin niin, että vastakkaisilla sivuilla on samat luvut kirjoitettuna toisin päin. Jos nopassa on luku 964, niin vastakkaisella puolella noppaa on 469. Taikuri saa noppien silmäluvuista pöytää vasten olevien lukujen summan laskemalla näkemiensä noppien lukujen sadat (ensimmäiset luvut) yhteen ja ottamalla summan kympeiksi ja ykkösiksi (kahdeksi viimeiseksi numeroiksi) ja kuten äsken, vähentämällä summan viidestäkymmenestä saaden tuhannet ja sadat (kaksi ensimmäistä numeroa). Taikuri on siis laskenut pöytää vasten olleiden lukujen summan, ennekuin luvut ovat edes näkyvissä.

Numeronoppien matemaattinen rakenne huolehtii siitä, että viiden nopan sarja toimii vain viiden nopan sarjana. Jos haluat neljän nopan sarjan, et voi vain poistaa viiden nopan sarjasta yhtä noppaa. Jos haluat kolmen, neljän, kuuden tai vaikka yhdeksän numeronopan sarjan, joudut laatimaan tällaisen sarjan alusta lähtien. Rakentamisen avaimet näkyvät noppien luvuissa. Jokaisen nopan kolminumeroisen luvun keskimmäinen luku (kymmenet) on yhdessä nopassa aina sama ja keskimmäisten summa on (viiden nopan sarjassa) 30. Summa vaihtelee noppien lukumäärän mukaan, mutta aina tuo summa on tasakymmenen (20, 30, 40 ,50 jne.).
Toinen numeraalinen ominaisuus on nopan kolminumeroisten lukujen sadoissa ja ykkösissä. Punaisen arpakuution luvut ovat 248, 347, 446, 644, 743 ja 842. Koska tarkastelemme nyt vain laitimmaisia lukuja, keskimmäinen numero voisi olla mitä vaan. Jos laskemme kolminumeroisesta luvusta laitimmaiset numerot yhteen, saamme aina kymmenen (2+8, 3+7, 4+6, 6+4, 7+3 ja 8+2).

Punaisen nopan laitojen summa on siis 10. Muilla nopilla samat summat ovat 7, 13, 9 ja 8. Näiden summa on 10 + 7 + 13 + 9 + 8 = 47. Lukujen yhteenlaskussa kymmenien summasta (30) otetaan mukaan 3, jolloin päädytään lukuun 50.

Kirjassani Pakottavia taulukoita ja paradoksipapereita käymme lävitse ”kädestä pitäen” Numeronoppien kolminumeroisten lukujen laadinnan. Lisäksi kirjassa on esimerkkisarjat kolmelle, neljälle, viidelle, kuudelle, seitsemälle, kahdeksalle, yhdeksälle sekä yhdelletoista nopalle, valtaisa määrä noppien matematiikka sekä muitakin temppuideoita, muun muassa aivan upea kirjatesti-temppu.

Viidellä numeronopalla on erilaisia silmälukuvaihtoehtoja kuusi potenssiin viisi, 6x6x6x6x6 = 7776. Näin suuressa määrässä erilaisia vaihtoehtoja voisi olla muutama sama summa, joten erilaisten summien lukumäärä on ilmeisesti pienempi kuin 7776. Totta. Itseasiassa tämän jutun yhteydessä olevien noppien erilaisia summia on vain kaksikymmentäseitsemän. Seuraavassa ovat Dimension juttua varten suunnittelemani nopat kaaviokuvina.

Luokassa

Numeronopat on erittäin hyvä yhteenlaskuharjoittelutemppu. Noppien määrillä säädetään päässälaskun haastavuutta. Seitsemän tai kahdeksan numeronopan sarja ei toimi taikureille, esitys vain venyy tuomatta taikuuteen lisäarvoa, mutta opettajia isommat noppasarjat saattavat kiinnostaa.

Yhteenlaskujen harjoittelemisessa päässälaskuna on sellaisenaan haastetta. Lisää haasteita ja tekemistä saadaan vaikkapa matematiikkakerhoon, jos oppilaat suunnittelevat omat noppansa. Lukujen valinnoilla on säännöt ja rajat. Kerholaiset ratkaisevat pieniä yhtälöitä, ja tutkivat raja-arvoja. Paljon muutakin on löydettävissä.

Askartelua

Noppien tekeminen puukäsityössä yhdistää matematiikan ja käsityön ja vie päässälaskuharjoitukset ja taikatemput kotiin saakka. Erikokoisia tyhjiä, puisia noppia voi ostaa Netistä. Ostin ulkopeliksi tarkoitetun Yatsy-pelin, jossa oli viisi isoa (5 x 5 x 5 cm) puista noppaa. Arpakuutiomerkinnät lähtivät santapaperilla pois. Kolminumeroiset luvut kirjoitin tussilla lasten piirustussapluunaa apuna käyttäen. Sarja kulkee helposti mukana niin taikurikeikoilla kuin matemaattisten taikatemppujen työpajassa.

Historiaa

Vuonna 1927 newyorkilainen pörssimeklari ja kirjailija Royal Vale Heath laittoi myyntiin Di-Ciphering Magic nimisen taikatempun (myös nimellä Dy-Cyphering Trick), joka perustui New Yorkilaisen taikurin Ed Balduccin matemaattiseen ideaan. Heathin tempussa on viisi numeronoppaa, joiden avulla taikuri kykeni voittamaan katsojat hämmästyttävässä laskukilpailussa. Nopat oli tehty niin, että kuvaamani kakkostemppu ei ollut mahdollinen. En tiedä kuka on keksinyt laittaa noppien vastakkaisille tahoille käänteiset luvut ja tällä tavalla mahdollistaa tempun toisen osan.

Heathin tempusta tuli erittäin suosittu. Sitä myytiin tavallisissa lelukaupoissa mutta taikuritkin kehittivät ja julkaisivat omissa lehdissään ideoita käyttää Numeronoppia. En ole löytänyt mistään tietoa, jossa kerrottaisiin, miksi noppien matematiikka toimii kuten se toimii tai puhumattakaan jutusta, jossa selostettaisiin, miten noppia voi laatia. Niinpä minun piti opetella tämä taito itse, jotta saatoin sen kirjaani kirjoittaa. Tässä arvokkaana apuna ja tukena oli matematiikan opettaja Ulla Sirén-Peura.

Lisää matemaattisia taikatemppuja

Oletko tulossa MAOLin koulutuspäiville 7.–8.10. 2022 Espooseen? Martti Sirén pitää lauantaina työpajan otsikolla Taikatemppuja ja matematiikkaa (klo 15.00–15.45) ja lisäksi Martti on päivän aikana tavattavissa MFKA-Kustannuksen pisteellä kertomassa kirjoistaan ja työpajoistaan.

Martti Sirén on hämeenlinnalainen taikuri, tietokirjailija, työpajakouluttaja, taikuuden historian penkoja ja tarinoiden kertoja, myös nopilla arvottujen tarinoiden kertoja. Sirén on kirjoittanut neljä kirjaa matemaattisista taikatempuista ja pitänyt matemaattisten taikatemppujen työpajoja opettajille yli viidentoista vuoden ajan.

www.marttisiren.fi