Klassiset matemaattiset temput, osa 6
Matemaattisesti tämä on Dimensio-lehteen kirjoittamista jutuista ehkä kiehtovin ja varmasti päässälaskuharjoituksena paras ikinä.
Poistetun kortin arvoitus
Lähtötilanne on helppo. Hae pelikorttipakka.
Minulla on kyllä aikaa odottaa, että oikeasti haet sellaisen itsellesi.
Hyvä, sitten voimme jatkaa.
Tarkista, että korttipakassa on kaikki 52 pelikorttia.
Sekoita pakka.
Jaa pakasta yksi kortti pöydälle kuvapuoli alaspäin niin, että et tiedä jakamasi pelikortin arvoa.
Nyt tehtäväsi on selvittää, laskea loppupakan avulla, minkä kortin laitoit pöydälle.
Yksinkertaisin tapa olisi jakaa korttipakka maittain neljään pinoon: hertat, padat, ristit ja ruudut omiin pinoihin ja sen jälkeen katsoa, että missä maapinossa on vain kaksitoista pelikorttia ja lopuksi katsoa tästä vajaasta pinosta puuttuva pelikortti. Tuo on riittävän haasteellinen ala-asteen ykkös- ja kakkosluokkalaisille ja käy erittäin hyvästä motoriikkaharjoituksessa. Mutta ylemmillä asteilla käytämme matematiikkaa.
Muistatko Tapio Rautavaaran tarinan sotilaasta, jolla oli pelikorttipakka mukana kirkossa? Tarinassa sotamies kertoo, että korttien arvo on yhtä vähemmän kuin päiviä on vuodessa. Täyden pakan korttien arvo yhteenlaskettuna on 364, kun sotilas on arvoltaan yksitoista, rouva arvoltaan kaksitoista ja kuningas arvoltaan kolmetoista. Ässän arvo on yksi ja muut numerokortit ovat numeronsa mukaisella arvolla. Tuohon lukuun on pitkä matka. Asiaa voi tutkia vaikka näin:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 91
91 on jaettavissa kolmellatoista. Tämä on helppo todista niin, että otetaan edellisestä lukujonosta pareja: 1 + 12 = 13; 2 + 11 = 13; 3 + 10 = 13; 4 + 9 = 13; 5 + 8 = 13 ja 6 + 7 = 13
Tuohon kun lisätään laskujonossa mukana ollut kuningas, joka on yksistään arvoltaan kolmetoista, saamme seitsemän kappaletta kolmeatoista, eli 7 x 13 = 91. Koska korttipakassa on neljä maata, laskemme 4 x 91 = 364
Näin siis täydellä 52:n kortin pakalla. Mutta nyt olemme tilanteessa, jossa pakasta on jaettu yksi kortti pöydälle niin, ettei kukaan tiedä mikä poisotettu kortti on.
On täysin mahdollista ja luvallista ottaa korttipakka käteen, ne loput viisikymmentäyksi korttia ja lähteä summaamaan pakassa olevien korttien arvot yhteen. Korttien arvot voi laskea joko niin, että jaat pakasta kortteja pöydälle yhteen pinoon kuvapuoli ylöspäin tai niin, että pidät pakkaa oikeassa kädessä pakka kuvapuoli ylöspäin, jotta näet korttien kuvapuolet ja selaat pakasta kortteja vasempaan käteen. Molemmissa tekniikoissa lasket samalla jakamasi ja näkemäsi pelikorttien arvot yhteen.
Koska yksi kortti puuttuu, summaksi ei tule 364, vaan poistetun pelikortin arvon verran vähemmän. Laskutoimitus on käsittämättömän puuduttava. Kolmeensataan kuuteenkymmeneenneljään on pitkä matka. Virhemahdollisuudet ovat suuret. Kokeilemme jotain muuta. Korttien käsittely pysyy samana, mutta matematiikka muuttuu.
Kuten jo totesimme, 364 on jaollinen kolmellatoista.
Voimme hyödyntää tätä tietoa laskemalla aina kolmeentoista saakka, jonka jälkeen ylin menneestä osasta vähennämme kolmetoista. Englannin kielessä laskutavasta käytetään tapahtumaa hyvin kuvaavaa nimitystä Casting out, ottaa pois, poistaa. Poistamme kolmetoista aina kun yhteenlaskumme ylittää kolmetoista. Jos pakan kolme ensimmäistä korttia ovat kuusi, neljä ja seitsemän, laskemme: kuusi plus neljä on kymmenen ja siihen seitsemän on seitsemäntoista. Summa ylitti kolmetoista, joten poistamme kolmetoista, ja olemmekin neljässä (17 – 13 = 4).
Näin laskien täydellä pakalla päätyisimme lukuun kolmetoista. Jos pakasta puuttuu yksi kortti, päädymme lukuun X.
Pakasta poistettu kortin arvo on 13 – X. Jos päädyimme yhteenlaskuissamme viiteen, tiedämme, että pöydällä olevan kortin arvo on 8, koska 13 – 5 = 8
Tiedämme nyt poistetun kortin arvon, mutta emme kortin maata. Esimerkissämme saimme poistetun kortin arvoksi kahdeksan. Katsomme vielä kerran pakan lävitse ja toivomme kovasti, että löydämme vain kolme kasia. Puuttuva kahdeksan on se kortti, joka on otettu pakasta pois. Mikäli löydät neljä kahdeksikkoa, teit yhteenlaskuissa virheen ja jokin muu kortti kuin kahdeksikko, on pakasta otettu pois.
Oikotiet
Muutama vinkki nopeuttamaan poistetun pelikortin laskemista.
Kuninkaat (13) voi ohittaa laskematta niiden arvoa lainkaan. Koska kolmentoista ylityksen jälkeen summasta poistetaan kolmetoista, on kuninkaan laskeminen turhaa edestakaista puuhaa.
Rouvat (12) voi laskea nopeammin niin, että vähennät senhetkisestä summasta ykkösen.
Samoin sotilas (11) kannattaa laskea niin, että vähennät senhetkisestä summasta kakkosen.
Kymmenen voidaan laskea vähentämällä sen hetkisestä summasta kolme.
Selaustekniikassa, jossa siirrät kortteja oikeasta kädestä vasempaan, näet usein oikeassa kädessä olevasta pakasta kaksi seuraavaa korttia ennen kuin olet ehtinyt laskea päällimmäistäkään kokonaissummaan mukaan. Saatat huomata, että näkemäsi kahden kortin yhteinen arvo on kolmetoista tai kaksitoista tai yksitoista, jolloin voit siirtää ne vasempaan käteen ja laskea ne kuten kuvakortit kuningas, rouva tai sotilas laskettaisiin.
Numerokortit
Korttien laskeminen nopeutuu ja helpottuu, jos pakasta otetaan niin kutsuttu numerokortti, siis mikä tahansa pelikortti, jonka arvo on yhdestä (ässästä) kymppiin. Näiden summa on 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. Näitäkin on korttipakassa neljä kertaa, joten kaikkien numerokorttien arvojen summa on 220.
Mikäli tämä tehdään matemaattisena harjoituksena, pyydä ystävääsi ottamaan pakastasi yksi pelikortti ja pyydä häntä tarkistamaan, että kortti on numerokortti.
Jos haluat tehdä tämän osana taikatemppua, laita ennen temppua kaikki kuvakortit pakan alimpaan puoliskoon. Tempun alussa viuhkaan pakan yläosa katsojaan päin ja pyydä häntä ottamaan yksi pelikortti ja lattamaan se taskuunsa tai pöydälle kuvapuoli alaspäin. Voit antaa vielä pakan katsojalle sekoitettavaksi. Näin huolehdit siitä, että katsoja ei ota kuvakorttia ja että katsoja ymmärtää, että pakan järjestyksellä ei ole mitään tekemistä tempun salaisuuden kanssa.
Kun katsoja on ottanut (numero)kortin pakasta, ja pakka on sekoitettu, käännät pakan kuvapuoli ylöspäin ja selaat pakan lävitse, kuten edellisessä esimerkissä, kun laskettiin kaikkien korttien arvoja yhteen. Nyt laskemista helpottaa se, että ohitat kaikki kuvakortit. Kaksitoista korttia vähemmän laskettavaa.
Poistat summasta kymmenen aina kun kympin yli laskuissasi menet. Kun lopulta päädyt lukuun, joka on pienempi kuin kymmenen, vähennät saamasi luku kymmenestä, niin tiedät katsojan poistaman kortin arvoin. Mikäli laskutoimituksesi päättyy kymmeneen, on katsojan ottama kortti kymmenen. Pakan uusintaselauksessa tarkistat, mikä on puuttuvan pelikortin maa-arvo.
Plussaa ja minusta
Poisotetun pelikortin arvon voi laskea myös niin, että ajattelet esimerkiksi punaiset kortin (hertat ja ruudut) plusmerkkisiksi ja mustat kortit (padat ja ristit) miinusmerkkisiksi. Selatessasi kortteja lisäät punaisten korttien arvot ja vähennät mustien. Hyvin sekoitetussa pakassa menet korttien arvojen summassa edestakaisin nollan molemmin puolin, välillä miinusmerkkisenä, välillä plusmerkkisenä. Koska täydessä korttipakassa on yhtä paljon mustia kuin punaisia kortteja, yhtä paljon plussia kuin miinuksia, päätyisit laskussasi aina nollaan. Kun yksi kortti on poissa, jäät nollasta poistetun kortin arvon verran. Jos poistettu kortti on pata tai risti, päädyt kortin arvon verran plussan puolelle. Vastaavasti, jos poistettu kortti on hertta tai ruutu, päädyt poistetun kortin arvon verran miinukselle.
Laskutapa toimii sekä silloin, kun poistettu kortti on jokin viidestäkymmenestäkahdesta pelikortista tai jokin numerokorteista. Numerokorttitapauksessa kuvakortit jätetään pois kortteja laskettaessa.
Temppuilua
Kaikkea yllä mainittua voidaan tehdä puhtaasti laskuharjoitteluna, mutta se taipuu myös sellaisenaan taikurin näyttämään kykyyn selvittää nopeasti puuttuva kortti vain selaamalla kortit vain pariin kertaan lävitse. Taikurit käyttävät laskutapaa myös osana isompaa korttitemppua, jolloin korttien laskenta peitetään muuhun tekemiseen. Seuraavassa on yksi korttitemppu, oikeammin peluridemo, jossa taikuri selvittää nopeasti viisi korttipakasta otettua pelikorttia.
Pokeripelin suora
Pokeripelissä suoralla tarkoitetaan viittä korttia, joiden arvot ovat peräkkäin, esimerkiksi 4, 5, 6, 7, ja 8. Korttien maa-arvolla ei ole merkitystä. Jos nämä kortit olisivat samaa maata, puhuttaisiin värisuorasta. Anna katsojalle korttipakka. Pyydä häntä sekoittamaan pakka, ja tämän jälkeen ottamaan pakasta mikä tahansa suora: viisi korttia, joilla on peräkkäiset arvot. Koska pokeripelissä ässä voi olla arvoltaan joko ykkönen tai neljätoista, katsojalla on mahdollisuus valita kymmenen erilaista suoraa, ensimmäisenä mahdollisena 1, 2, 3, 4, ja 5 sekä viimeisenä mahdollisena 10, 11, 12, 13, ja 14, ja kahdeksan muuta näiden väliltä. Pyydä katsojaa ottamaan valitsemansa suoran kortit eri korttimaista. Tällöin kortit eivät paljastu sinulla ensimmäisellä selauksella pelkästään sillä, että jossakin yhdessä korttimaassa on viiden kortin puute. Kun katsoja on ottanut korttinsa, pyydä häntä vielä sekoittamaan korttipakka.
Ota pakka itsellesi, kerrot katsojille, että viiden kortin poissaolon hahmottaminen pakasta on erittäin hankalaa, varsinkin, kun kortit ovat pois eri maista. Yrität silti hahmottaa yhdellä selauksella, millainen suora pakasta on otettu.
Selaa pakka rauhallisesti lävitse. Laske 13 menetelmällä koko pakka lävitse, kuitenkin niin, ettei katsojat tajua sinun selkeästi laskevan jotakin. Laskusi ei mene tasan. Viimeinen kolmetoista ei täyty. Jokainen suora päättyy laskuissa eri kohtaan. Otamme tällä kertaa saadun arvon sellaisenaan käyttöön, emmekä vähennä sitä kolmestatoista. Seuraavassa on luvut, joihin yhteenlaskusi voi päätyä, sekä sitä vastaava suora, jonka katsoja on pakasta itselleen kerännyt.
Luku johon päädyt: Katsojan pakasta ottama suora
1: 3, 4, 5, 6, 7
2: 8, 9, 10, 11, 12
4: 5, 6, 7, 8, 9
5: 10, 11, 12, 13, 14
6: 2, 3, 4, 5, 6
7: 7, 8, 9, 10, 11,
9: 4, 5, 6, 7, 8
10: 9, 10, 11, 12, 13
11: 1, 2, 3, 4, 5
12: 6, 7, 8, 9, 10
Oma haasteensa on muistaa nämä vaihtoehdot. Joka tapauksessa – kun olet laskenut pakkasi korttien arvojen summan, tiedät mitkä viisi korttia katsoja on pakasta ottanut. Korttien maa-arvoja et tiedä, mutta peräkkäin olevat numeroarvot osaat kertoa.
Historiaa
Puuttuvan pelikortin laskeminen loppupakasta on vanha idea. Reinhard Myller mainitsee Genii-lehden keskustelupalstalla (8.2.2008) seuraavat kolme lähdettä:
Jacques Ozanam: Récréations mathématiques et physiques (1693)
Natürliches Zauberbuch, oder: Neu-eröffneter Spiel-Platz rarer Künste (Tuntematon kirjoittaja, 1745)
Friedrich Wilhelm Conradi: Der moderne Kartenkuenstler (1896)
Kolmetoistalukujärjestelmän käyttöä poistetun kortin laskemiseen on ehdotettu ilmeisesti ensimmäisen kerran vuonna 1888 englantilainen professori R. Kunardin kirjassa The Book of Card Tricks. Principles of Sleight of Hand for Drawing-Room and Stage Entertainments – With an Exposure of Tricks as Practised by Card-Sharpers and Swindlers (L Upcott Gill, London 1888). Kirjassa on temppu nimeltään To Tell the Card which has been Drawn from a Whist Pack (sivu 51). Whist Pack on visti-nimiseen korttipeliin soveltuva, tavallinen tuntemamme viidenkymmenenkahden pelikortin pakka. Whist Pack sanojen tilalla voisi yhtä hyvin lukea Whole Pack. Samaisessa kirjassa välillä näin lukeekin.
Kunardi ehdottaa, että kortteja lasketaan vähentämällä kasvavasta summasta aina kolmetoista sitä mukaa, kun tämä täyttyy, kuten aiemmin tässä artikkelissa kehotan tekemään.
Kunardin kirjassa opastetaan myös, miten lasket puuttuvan kortin niin kutsutusta Piquet–pakasta.
Ellis Stanyon toistaa Kunardin idean sellaisenaan Stanyon’s Magic -lehdessään tammikuussa 1905 juttusarjassaan Orginal Lessons in Magic otsikolla Novel Memory Trick with Cards. Kuten Stanyolla tapana oli, hän ei mainitse idean lähdettä.
Satya Ranjan Roy ehdotti Stanyon’s Magic -lehdessä vuoden 1905 maaliskuun numerossa plus- ja miinusmerkkisten korttien laskutapaa pakasta poistetun kortin selvittämiseksi. Sama idea on julkaistu kahdeksan vuotta myöhemmin Stanyon’s Magic -lehdessään tammikuussa vuonna 1913 (A Dictionary of Magical Effects – Card Tricks – Calculation, nro 27, Another Method). 1900-luvun alussa luotettiin päässälaskutaitoon. Satya Ranjan Royn jutussa ehdotetaan itseasiassa kahden eri ilmiön laskemista yhtä aikaa. Punaisten ja mustien korttien laskeminen menee kuten tämän jutun Plussaa ja miinusta -kohdassa kerrotaan.
Haasteellisempaa matematiikkaa
Satya Ranjan ehdottaa, että samalla kun taikuri laskee plussia ja miinuksia, hän laskisi myös hertan ja padan arvoja samalla plus- ja miinustavalla, mutta niin, että nollataso on kahdessasadassa. Jos ensimmäinen kortti on hertta viisi, ja toinen hertta kahdeksan ja kolmas ruutu kaksi, summaat nämä yhteen ja olet viidessätoista. Samaan aikaan lisäät hertat aloittaen kuitenkin kahdestasadasta: kaksisataa plus viisi plus kahdeksan. Tässä laskennassa olet luvussa kaksisataa kolmetoista. Jatkat näin lisäten ja vähentäen punaisten ja mustien korttien arvoja nollan ympärillä ja lisäten ja vähentäen herttoja ja patojen kahdensadan ympärillä. Jos poistettu kortti ei ole hertta tai pata, päättyy tämä kahdensadan ympärillä pomppiva laskutoimitus nollaan. Jos valittu kortti on hertta tai pata, kahdensadan ympärillä etenevä laskutoimitus ei pääty kahteensataan. Molemmissa tapauksissa tiedät yhden selauskierroksen jälkeen kortin arvon lisäksi poistetun pelikortin maan.
Jos tuo kaksi erillistä laskutoimitusta tuntuu vaikealta, pohdi tätä: pakasta poistetaan neljä pelikorttia, yksi jokaisesta maasta. Taikuri selaa pakan kerran lävitse ja ilmoittaa jokaisesta korttimaasta puuttuvan kortin. Temppu toimii siten, että taikuri laskee mielessään yhtä aikaa neljää eri pinoa, summaa: herttoja, patoja, ristejä ja ruutuja. Hän päätyy neljään eri tulokseen, jotka paljastavat hänelle poistetut kortit. Tällaista ehdotti Charles Jordan Quadruple-nimisessä tempussaan joskus 1930-luvulla.
Tempun historia
Tässä artikkelissa kerrottu Pokeripelin suora on lähtöisin Karl Fulvesin kirjasta Card Counting (omakustanne 1982). Fulves esittelee kaksi erilaista laskutapaa katsojan ottaman viiden kortin suoran laskemiseksi, joista kumpikaan ei ole sama kuin tässä jutussa esittelemäni. Fulves ei kerro kirjassaan, mistä hän sai idean julkaisemiinsa juttuihin.
Kirjoittaja
Martti Sirén on hämeenlinnalainen taikuri, matemaagikko, tietokirjailija, kouluttaja, taikuuden historian penkoja ja tarinankertoja, joskus myös pelikorttien laskemisiin pohjautuvien tarinoiden kertoja.
Edellinen taikuriartikkeli: Matematiikkataikurit osa 1: Salaisuus nimeltä Karl Fulves 28.3.2024
Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista
