Neljän tieteen kisat: Lukion matematiikkakilpailussa kova taso
Aloituskuvassa Olli Järviniemi, Roope Salmi, Akseli Jussinmäki ja Hermanni Huhtamäki. [Kuvaaja Janne Valtonen]
Matematiikan finaalissa oli ehkäpä hieman yllättävä tilanne, sillä pisteitä ei paljon ratkaisuista jaettu, mutta kilpailijat ovat todella hyviä. Tähän on looginen selitys: tiesimme jo valmiiksi, että kilpailijamme ovat hyviä. Usealla heistä on kokemusta erilaisista kansainvälisistä kilpailuista. Valitsimme siis tietoisesti todella hankalia tehtäviä, jotta ei vahingossakaan tapahtuisi sitä, että kilpailun voittaja ratkeaisi vain jonkun pienen huolimattomuusvirheen perusteella.
Kilpailun voitti Olli Järviniemi toisen kerran peräkkäin. Toiseksi tuli Roope Salmi, jaetulle kolmannelle sijalle Hermanni Huhtamäki ja Akseli Jussinmäki, viidennelle sijalle Nerissa Shakespeare. Nämä samat viisi edustivat Suomea Baltian tie -joukkuematematiikkakilpailussa marraskuussa. Heillä kaikilla on erinomainen työmoraali ja he harjoittelevat ahkerasti.
Helpoimmaksi tehtäväksi osoittautui geometrian tehtävä, tehtävä numero 3, vaikeimmaksi puolestaan lukuteorian tehtävä numero 4. Tämä on mahdollisesti hieman yllättävää, sillä perinteisesti Suomen kompastuskivi kilpailuissa on ollut geometria, kun taas lukuteorian tehtäviä on osattu mukavasti. Selitys on kuitenkin looginen:
geometrian tehtävä oli suhteessa helpompi kuin muut, koska tiedossa oli, että geometria tuskin kilpailijoiden vahvin ala on. Geometrian tehtävän osoittautuminen oletettua helpommaksi on kuitenkin mukava yllätys, koska kansainvälisissä kilpailuissa on usein helpoiksi tarkoitettuja geometrian tehtäviä.
Nyt voisin vielä hieman kommentoida tehtäviä.
1. Ratkaise, mille luvuille $ x $ on voimassa
$$ x(8\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x})\le 11\sqrt{1+x}-16\sqrt{1-x}, $$
kun $ 0<x\le1 $.
– Tämä tehtävä osoittautui vaikeammaksi kuin olimme olettaneet. Tehtävä on tietyllä tapaa todella suoraviivainen, mutta vaatii uskoa siihen, että se on saatettavissa loppuun (ja siihen, ettei itse ole tehnyt huolimattomuusvirheitä). Monella oli loppunut usko kesken.
2. Kun $ x $ on reaaliluku, tarkoittaa $ \left\lfloor x\right\rfloor $ suurinta kokonaislukua $ n $, jolle $ n\leqslant x $. Esimerkiksi $ \left\lfloor4{,}2\right\rfloor=4 $, $ \left\lfloor\pi\right\rfloor=3 $ ja $ \left\lfloor8\right\rfloor=8 $. Todista, että luku $ \left\lfloor\bigl(2+\sqrt5\,\bigr)^{2019}\right\rfloor $ ei ole alkuluku.
– Tämän tehtävän kriittinen havainto on se, että $ \left\lfloor\bigl(2+\sqrt5\,\bigr)^{2019}\right\rfloor=\bigl(2+\sqrt5\,\bigr)^{2019}+\bigl(2-\sqrt5\,\bigr)^{2019} $, jonka jälkeen lausekkeen saa muokattua nättiin summamuotoon ja sen jälkeen voi tarkastella jaollisuuksia.
3. Olkoon $ ABCD $ ympyrän jännenelikulmio, jonka sivu $ AB $ on samalla ympyrän halkaisija. [Jännenelikulmio tarkoittaa nelikulmiota, jonka kärjet sijaitsevat ympyrän kehällä.] Janat $ AC $ ja $ BD $ leikkaavat pisteessä $ E $ ja janojen $ AD $ ja $ BC $ jatkeet pisteessä $ F $. Jana $ EF $ leikkaa ympyrää pisteessä $ G $ ja janan $ EF $ jatke leikkaa halkaisijan $ AB $ pisteessä $ H $. Osoita, että jos $ G $ on janan $ FH $ keskipiste, niin $ E $ on janan $ GH $ keskipiste.
– Tehtävän voisi muotoilla myös jos ja vain jos -muodossa ja todistuksen saisi itse asiassa samalla vaivalla. Päätimme kuitenkin pitää tehtävänasettelun mahdollisimman yksinkertaisena.
4. Määritellään lukujono asettamalla $$ a_n=n^n+(n-1)^{n+1}, $$
kun $ n $ on positiivinen kokonaisluku. Määritä kaikki ne positiiviset kokonaislukumodulot $ m $, joissa tämä lukujono on lopulta jaksollinen, ts. on olemassa sellaiset positiiviset kokonaisluvut $ K $ ja $ s $, että $ a_k\equiv a_{k+s}\pmod{m} $, kun $ k\geq K $ on kokonaisluku.
– Tämä tehtävä oli minun ehdottamani, eikä luonnollisestikaan minun mielestäni hirveän hankala. Kilpailussa tämä kuitenkin tuotti vähiten pisteitä kilpailijoille. Ratkaisu vaatii ymmärrystä kiinalaisesta jäännöslauseesta ja Eulerin lauseesta sekä laskurutiinia.
5. Opettajalla tiedetään olevan $ 2^k $ omenaa jollakin $ k\in N $. Hän syö oppilaiden nähden yhden omenoista itse ja jakaa loput oppilailleen A ja B niin, ettei kumpikaan näe, kuinka monta toinen saa. A ja B eivät tunne lukua $ k $. He ovat kuitenkin ennalta valinneet huomaamattoman tavan paljastaa yhdellä ainoalla merkillä toisilleen jotakin omenoiden lukumäärästä: Kumpikin raapii päätään oikealla, vasemmalla tai molemmilla käsillään saamiensa omenoiden lukumäärän mukaan. Opettajan ällistykseksi oppilaat tietävätkin aina, kumpi sai omenoita enemmän tai että opettaja söi ainoan omenan itse.
Miten tämä on mahdollista?
– Minun näkökulmastani tämä on kilpailun ylivoimaisesti vaikein tehtävä. Ratkaisu perustuu konstruktioon: kerro miten kommunikointi hoidetaan ja todista, että homma toimii.
