Pintojen taivuttelua ja venyttelyä
Pinnat ovat kaksiulotteisia geometrisia muotoja kuten esimerkiksi pöydän tai pallon pinta. Niitä tarkastellaan tässä artikkelissa ensisijaisesti konkreettisesti ja toiminnallisesti. Euklidispohjaisen koulugeometrian näkökulmasta se saattaa näyttää kovin alkeelliselta ja epämatemaattiselta, mutta sellainen perushahmotus luo geometrian ulkopuolellekin ulottuvia mielikuvia, jotka johdattelevat kaksiulotteisten monistojen ymmärtämiseen.
Pöytiä, siis pöytien pintoja, on hyvin monenmuotoisia: ympyröitä, suorakulmioita ja muita monikulmioita, soikioita, erityisesti ellipsejä ja superellipsejä (Dimensio 2/2017 s. 65). Tästä lähtökohdasta mikä tahansa yhtenäinen, itseään leikkaamattoman viivan rajoittama tasokuvio voisi siis olla tarkastelumme kohteena.
Niitä voidaan muuttaa toisikseen reunaviivaa taivuttamalla. Kuvittelua helpottaa, kun ajattelet, että kuvion reunaviiva on kukkalangan eli taipuisaksi hehkutetun rautalangan kaltaista ainetta. Sillä tavalla saadaan isoperimetrisiä kuvioita eli kuvioita, joiden piirit ovat yhtä pitkät. Jos reunaviiva on venyvää ainetta, niin myös kokoa voidaan muuttaa.
Toinen konkreettinen tapa kuvitella kuvion muodon jatkuvaa muuttamista on ajatella se tehdyksi muovailtavasta aineesta kuten taikinasta tai muovailuvahasta. Silloin sitä voidaan venyttää kaulimalla kuten piparkakkuja tai pitsapohjia. Kuvion muoto muuttuu jatkuvasti riippuen siitä, mihin suuntaan kaulitaan. Jos ne onkin tehty joustavasta kalvosta, niin niitä voidaan venyttää rajattomasti eri suuntiin muotoa ja kokoa muuttaen.
Kun niitä venytetään äärettömyyteen asti joka suuntaan, saadaan rajoittamaton taso, joka sekin on kaksiulotteinen geometrinen muoto, tosin abstraktio, joka on piirrettävissä tai taikinasta muovattavissa vain pieneltä, äärelliseltä osalta. Venyttämisessä ei tarvitse rajoittua pelkän mielikuvituksen varaan, vaan se voidaan tehdä tarkan matemaattisestikin. Esimerkiksi napakoordinaattimuodossa esitetty kuvaus
venyttää origokeskisen yksikköympyrän äärettömyyteen ulottuvaksi tasoksi. Venyttämistä havainnollistavat kuvassa mustat ympyrät, joiden säteet ovat 0,1:n kerrannaisia, ja niiden punaiset kuvat. Kuvaympyröistä näkyy, että venytys ei ole tasaista. Venytyskerroin kasvaa nopeasti, kun lähestytään yksikköympyrän reunaa. Niinpä esimerkiksi sellaisen pisteen kuva, jonka etäisyys yksikköympyrän reunasta on tuhannesosa, on etäisyydellä 999 origosta. Kun kuvassa yksikköympyrän säde on noin viisi senttiä, niin tällainen piste olisi lähes 50 metrin päässä. Vastaavasti miljoonasosan päässä reunasta olevan pisteen kuva olisi lähes tuhannen kilometrin päässä, siis Inarissa tai Utsjoella, jos luet tätä juttua Helsingissä!
Kaikkia yhtenäisiä tasokuvioita – ääretön taso mukaan luettuna – voidaan siis pitää samanlaisina tässä ”venytysgeometriassamme”, sillä ne voidaan muotoilla toisikseen venyttämällä kuviota. Tällaisesta samanlaisuudesta käytetään matematiikan kielessä nimitystä homeomorfisuus.
Entä kolmiulotteisessa avaruudessa?
Edellä tarkastellut pinnat voivat asua myös kolmiulotteisessa avaruudessa. Sileä paperiarkki tai kalvo mahtuu kaksiulotteiseen avaruuteen, mutta taivutettuna tai rypistettynä se tarvitsee kolmiulotteisen tilan. Silti se on paperiarkki, vaikka sitä kuinka rutistettaisiin, kunhan vain ei revitä eikä rei’itetä. Kuvioita siis taivutetaan kolmannen ulottuvuuden suuntaan, kun taivutetaan paperia, jolle ne on piirretty, tai leivonta-alustaa, jolle taikinakuviot on kaaviloitu. itse kuvio on edelleen kaksiulotteinen muoto. Matematiikan kielellä sanotaan, että nyt se on upotettu kolmiulotteiseen avaruuteen.
Ihan eri lajia kuin paperiarkki ovat kolmiulotteisten geometristen kappaleiden kuten pallon tai toruksen (rinkelin) pinnat. Ne tarvitsevat luonnostaan asuakseen kolmiulotteisen avaruuden, koska ne ympäröivät kolmiulotteista kappaletta. Vaikka ne ovat pintoina kaksiulotteisia, niitä ei voi levittää, taivuttaa tai venyttää tasoon leikkaamatta pintaa auki.
Samanlaisia kuin pallopinta ovat muidenkin kolmiulotteisten kappapeiden pinnat. Niitä voidaan konkretisoida ajattelemalla, että kappale peitetään joka puolelta hyvin ohuella, hyvin joustavalla kalvolla. Kalvo on siis tavallaan kappaleen ulkopinta. Kun kappale poistetaan kalvon sisältä – käytännössä se voi olla vaikeaa kalvoa repimättä, mutta matemaattisen ajattelun tasolla se on mahdollista – kalvo ehkä säilyttää kappaleen muodon. Ja vaikka ei säilyttäisikään, niin sillä ei ole nyt väliä. Se on sama kalvo kuitenkin. Ja kun se on (äärimmäisen) ohut, niin geometrisena muotona se on kaksiulotteinen.
Ajatellaan kalvopintamme rajattoman joustaviksi niin, että niitä saa kutistaa, venyttää tai taivuttaa mielin määrin. Kun niihin puhalletaan ilmaa, niin on helppo kuvitella, että ne paisuvat, terävät kärjet alkavat oieta ja rypyt tasoittua. Jonkinlaista mielikuvaa siitä, miltä kalvopintojen jatkuva muuntuminen toisikseen näyttää, voi saada Simo Kivelän Mathematicalla tekemästä animaatiokuvasta.
Animaation tuella on helppo (?) kuvitella, että kaikkien kolmiulotteisten, reiättömien kappaleiden kaksiulotteiset pinnat voidaan muuttaa jatkuvalla muunnoksella pallopinnaksi. Vaikka se on kaksiulotteinen, niin sitä ei voida venyttää tai taivuttaa tasoksi leikkaamatta sitä. Se on siis olennaisesti erilainen kaksiulotteinen geometrinen muoto kuin taso. Mitkä seuraavista ovat samanlaisia kuin taso tai pallopinta? Vasemmanpuolimmainen on munan muotoinen. Paraboloidia, hyperboloidia ja satulapintaa voit ajatella kuvan mukaisesti katkaistuina tai äärettömyyteen asti jatkettuina matemaattisina pintoina.
Torus (rinkeli) tarvitsee vielä oman geometristen muotojen luokkansa, sillä sitä ei voi muokata tasoksi eikä pallopinnaksi. Matematiikan kielellä pallo on yhdesti yhtenäinen kappale. Torus ei sitä ole, sillä siinä on reikä. Viipurinrinkelin pinta ei sovi tähänkään luokkaan, koska siinä on kolme reikää. Tarvitaan siis taas uusi luokka. Kuvittele seuraavan kuvan astioiden pintoja joustavina kalvoina. Mitkä niistä kuuluvat edellä niiden muodostettujen geometristen muotojen luokkiin, joiden yksinkertaisimmat edustajat ovat taso, pallo, torus ja kolmoistorus (viipurinrinkelin kaltaiset)? Mitä uusia pintojen ryhmiä on vielä muodostettava, jotta nämäkin saataisiin mukaan? Kuinka monta erilaista ryhmää tarvitaan kaikkiaan?
Jos astiassa on kaksi korvaa, reikää, niin tarvitaan oma kaksireikäisten kappaleiden pintojen muotoluokka, koska sellaista kappaletta ei voi muuntaa edellä mainituiksi muodoiksi. Sen yksinkertaisin muoto on kaksoistorus. Ja vastaavasti uusi luokka kutakin lisäreikää kohti. Erilaisia muotoluokkia on siis ääretön määrä. Eikä tässä ole vielä yritettykään tarkastella mitään todella eksoottisia pintoja.
Kolmiulotteisessa avaruudessa on vielä pintoja, jotka eivät ole samanlaisia tason kanssa eivätkä myöskään minkään kolmiulotteisen kappaleen ulkopintoja. Tunnetuin niistä on ehkä Möbiuksen nauha (Funktio 1/1978 s. 4, Dimensio 4.9.2025). Se on kaksiulotteinen, mutta ei ole levitettävissä tasoksi eikä muotoiltavissa palloksi tai minkäänlaiseksi torukseksi. Sen erityinen ominaisuus on, että se on yksipuolinen pinta. Se ei rajoita mitään kappaletta, koska sillä ei ole erillistä sisä- ja ulkopuolta. Sen konkreettinen malli voidaan valmistaa kaksiulotteisesta paperinauhasta kiertämällä toista päätä puoli kierrosta kolmannen ulottuvuuden kautta (1) ja liimaamalla päät yhteen (2). Sen ominaisuuksien lähempi tutkiminen vie kuitenkin ulos tämän artikkelin aihepiiristä.
Entä neliulotteisen avaruuden pinnat?
Neliulotteisia kappaleita emme voi nähdä kolmiulotteisessa avaruudessamme. Saadaksemme niihin jotain otetta meidän on katsottava niiden kolmiulotteisia projektioita. Tai oikeastaan vielä paremmin kolmiulotteisten projektioiden kaksiulotteisia kuvia. Tai sitten on käytettävä laskennallisia menetelmiä niiden ominaisuuksien selvittämiseen.
Tavallisimmat neliulotteiset kappaleet ovat hyperkuutio ja hyperpallo. Niiden projektiokuvat eivät ole kovinkaan havainnollisia, mutta niille on laskettavissa vastaavia ominaisuuksia kuin kolmiulotteisille kappaleillekin. Niinpä esimerkiksi hyperpallon pinta-ala on 2π2r3, ja tilavuus ½π2r4. Hyperkuution ”pinta” ei ole samassa mielessä purettavissa kaksiulotteiseksi geometriseksi muodoksi kuin kolmiulotteisten kappaleiden pinnat.
Neliulotteiseen avaruuteen voidaan upottaa myös itseään leikkaamattomia kaksiulotteisia geometrisia muotoja. Sellainen on esimerkiksi Kleinin pullo. Se on tavallaan kolmiulotteisen avaruuden Möbiuksen renkaan vastine, sillä se on yksipuolinen pinta. Se ei siis jaa avaruutta kahteen osaan: sisäpuoleen ja ulkopuoleen. Sitä voidaan kuitenkin kuvitella venytettäväksi tai taivutettavaksi jatkuvasti vastaavalla tavalla kuin kolmiulotteiseen avaruuteen upotettuja kaksiulotteisia pintoja. Kolmiulotteisessa projektiossa näyttää siltä, että Kleinin pullo leikkaisi itseään, vaikka neliulotteisen avaruuden todellisuudessa niin ei käykään. Kyse on vastaavasta ilmiöstä kuin se, että kolmiulotteisen solmun kaksiulotteinen projektio leikkaa itseään. Ehkä vaikeaa kuvitella, mutta totta.
* * * * *
Kaksiulotteisessa avaruudessa pinnat ovat kaikki samanlaisia siinä mielessä, että ne voidaan venyttää toisikseen. Kolmiulotteisessa avaruudessa on paljon erilaisia pintoja. Neliulotteisessa avaruudessa on hyperkappaleita, joiden kaksiulotteisista pinnoista voidaan puhua, ja kaksiulotteisia pintoja, jotka eivät liity mihinkään hyperkappaleeseen, mutta on myös hyperkappaleita, joiden ”pinnat” ovat kolmiulotteisia geometrisia muotoja eivätkä kaksiulotteisia. Korkeampiin ulottuvuuksien en uskaltanut edes yrittää kurkistaa.
* * * * *
Suuret kiitokset tästä jutusta kuuluvat Simo Kivelälle, joka on antanut paljon hyviä neuvoja ja jutussa olevan gif-animaation. Asiasta kiinnostuneen lukijan kannattaa vilkaista hänen blogikirjoitustaan Poincarén konjektuuri osoitteessa
https://simokivela.blogspot.com/2013/02/poincaren-konjektuuri_1717.html
Aiheesta aiemmin ilmestynyt artikkeli: https://dimensiolehti.fi/viivojen-taivuttelua/
