Babylonialaisten matematiikkaa

Yleistä

28.4.2026

Eufrat ja Tigris olivat kaksi suurta jokea Mesopotamiassa eli nykyisen Irakin eteläosissa, joiden ympärille maanviljelys kehittyi 4000–2000 eaa. luoden kaupunkivaltioita. Tätä aikakautta nimitetään sumerilaisen kulttuurin aikakaudeksi, ja sen keskiössä olivat pappiskuninkaat. Temppelit vuokrasivat viljelysmaata ja maanviljelys kukoisti tehokkaan kastelujärjestelmän avulla. Tällöin kehittyivät kirjoitustaito, verotus ja kaupankäynti, mutta myös matematiikka. Verotus mahdollisti suuret rakennushankkeet ja armeijan ylläpitämisen, ja sen jälkeen valta alkoi siirtyä maallisille kuninkaille noin 3000 eaa. paikkeilla. Kirjoitus oli nuolenpääkirjoitusta, joka tehtiin painelemalla ruokotikulla merkkejä savitauluihin. Sumerilaisilla oli käytössään seksagesimaali- eli 60-lukujärjestelmä, jossa kahden erilaisen nuolenpään avulla ilmaistaan luvut 1…59. Sumerilaista kulttuuria seurasi tällä alueella akkadialainen kulttuuri, jonka menestys perustui sotataitoihin. Tämän jälkeen oli hajaannuksen vuosia, jolloin kaupunkivaltioiden ympärille alkoi kehittyä kukoistavaa kulttuuria. Näistä tärkein oli Babylonian kaupunki. Vuonna 1700 eaa. Hammurabi yhdisti kansakunnan, ja siitä alkanutta kautta nimitetään babylonialaisten aikakaudeksi. Sitä kesti aina vuoteen 539 eaa. asti, jolloin persialaiset valloittivat alueen. Kulttuuri tosin jatkoi kukoistusta vielä tämän jälkeenkin.

Kuva 1: Babylonialaiset numerot (Lähde: Wikipedia⁴)

Yli 3000 vuoden kehityksen aikana opittiin tutkimaan tähtitaivasta ilman kaukoputkia. 60-lukujärjestelmä sopii hyvin myös päivän, kuun ja vuoden kiertoon. Kuun kierto oli 30 päivää ja vuoden kierto oli 12∙30 = 360 päivää. Myöhemmin (noin 500 eaa.) kun opittiin pitämään tarkkaa kirjaa päivistä ja osattiin ennustaa kuukalenterin avulla esimerkiksi auringon- ja kuunpimennyksiä, tarvittiin aina välillä ”korjauskuukausi” eli 13. kuukausi korjaamaan viiden ja ¼ päivän epätarkkuudesta johtunut vuosittainen heitto. Tämä lisäys ei ollut vielä säännöllistä, toisin kuin Egyptissä. Egyptiläiset osasivat kuitenkin lisätä nämä ylimääräiset päivät 360 päivän päälle joka vuosi ja osasivat aloittaa uuden vuoden aina samasta hetkestä tutkimalla tähtitaivasta. Nämä ylimääräiset 5 päivää oli varattu Egyptissä juhlimiselle.

Babyloniassa oli 12 kuukauden kuukalenteri. Kun kuun ja taivaankappaleiden ajateltiin liikkuvan ympyräradalla, niin oli luonnollista, että myös ympyrä jaettiin 360 osaan. Babylonialaiset jakoivat auringon näkyvän liikkeen taivaalla 12 osaan. Varmaan pyrkimys oli jakaa päivä 60-osiin, mutta aurinkokellojen tarkkuus ei ollut siihen aikaan kovin hyvä, niinpä 12 tuntinen jaottelu oli riittävä ajatellen papiston rukoushetkiä tai vartioiden vaihtumista. Babylonialaisten tapa päätyä jakamaan päivä 12 tuntiseksi johtuu ilmeisesti siitä, että myös egyptiläiset jakoivat päivän 12 osaan. Aurinkokellossa tunnit olivat lisäksi erimittaisia, koska päivän pituus vaihteli vuodenajan mukaan, mikä myös hankaloitti mittausta.

Egyptiläiset keksivät vesikellon ja alkoivat mittaamaan myös yön pituutta, joka niin ikään jaettiin 12 osaan, ja siitä tulee meidänkin käyttämämme 24-tuntinen vuorokausi. Myöhemmin babylonialaiset omaksuivat egyptiläisten idean 24-tuntisesta vuorokaudesta. Luku 12 on kuiden määrä vuodessa. Eläinten mukaan nimettyjä tähdistöjä on myös 12 taivaalla, ja niistä kehittyivät myöhemmin antiikin Kreikassa horoskooppimerkit. 12 vuotta on Jupiterin kierto auringon ympäri. Luku 12 oli tärkeä luku tähtitaivaan tutkijoille, siksi on luonnollista jakaa myös auringon liike taivaalla 12 osaan. Kaksitoista on joka tapauksessa kätevä luku, se on helppo jakaa 2, 3, 4 tai 6:lla, ja kertomalla viidellä siitä tulee 60. Luku 12 on esiintynyt myös sen aikaisissa painoyksiköissä, joten luku 12 on monessa mielessä kätevä. Myöhemmin, kun nämä tiedot levisivät Kreikkaan Aleksanteri Suuren valloitusten myötä, myös tunti jaettiin 60 osaan eli minuuttiin ja vastaavasti minuutti jaettiin 60 osaan eli sekuntiin kreikkalaisten toimesta. Tunnin jakaminen 60:llä tulee babylonialaisten käyttämästä lukujärjestelmästä, jota myös kreikkalaiset astrologit käyttivät. Ilmeisesti myös egyptiläiset jakoivat tunnin 60-osiin, kun opittiin mittaamaan aikaa tarkemmin vesikelloilla.

Myös kaupankäynnissä luvun 60-jaollisuus on erittäin hyödyllinen. Luvun 60-tekijät ovat 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 ja 60. Tämä on kätevää, kun rahaa jaetaan osiin. Jos yhden käden neljän sormen nivelet (3 kpl/sormi) lasketaan yhteen, niin siitä tulee 4∙3=12 ja jos toisessa kädessä on viisi sormea, niin näitä sormia yhdistelemällä saadaan kaikki luvut 1:stä 60:een eli 5∙12 = 60. Sormet ja niiden nivelet toimivat myös hyvänä laskukoneena. On myös arveltu, että sumerilaiset yhdistivät 5- ja 12-lukujärjestelmät tai 10- ja 6-lukujärjestelmät yhdeksi 60-lukujärjestelmäksi, kun kaksi kansaa yhdistyi, vaikka tästä ei ole kirjallista dokumenttia.

Ykkönen on viiva, jonka päässä on kolmio. Kakkonen on kaksi tällaista kolmioviivaa ja näin jatketaan aina yhdeksikköön asti, jolloin syntyy 3 x 3 kolmiota järjestettyinä vaakariviin ja pystysarakkeisiin. Tämän jälkeen käännetään yksi kuvio vaakasuuntaan, ja se on kymmenen. Yksitoista on kymmenen plus yksi. Jokainen kymmenen on siis yksi vaakasuuntainen merkki lisää, jolloin 59 on viisi vaakasuuntaista merkkiä ja yhdeksän pystysuuntaista merkkiä. Luku kuusikymmentä on sama merkki kuin yksi tai oikeasti yksi ja tyhjä -merkki, jolloin se tarkoittaa 60:tä. Ongelma tässä on se, että nollalle ei ollut omaa merkkiä. Babylonialaiset eivät tehneet siitä numeroa, vaikka mahdollisuus virhetulkinnoille oli suuri. Vai mitä sanot seuraavista merkeistä?

Koska kyseessä on paikkaan sidottu merkintä, niin tutkijat ovat ottaneet käyttöön lukujen paikkamerkinnän, jossa erottimena käytetään pilkkuja 60-kantaisten lukujen kertoimien välillä. Kyseessä siis ei ole desimaaliluku. Myöhäisimmissä savitauluissa mukaan on ilmestynyt tyhjä-merkki, jota ainakin käytettiin merkkien välissä. Ilman tyhjä-merkkiä luku on pääteltävä aina asiayhteydestä.

Otetaan esimerkki. Mikä on seuraava babylonialaisten luku?

Kirjoituksessa on eroteltavina kolme lukua eli 16, 4 ja 43. Kun tämä kirjoitetaan 60-kantaisessa potenssimuodossa, saadaan: 16∙60² + 4∙60¹ + 43∙60⁰ = 16∙3600 + 4∙60 + 43∙1 = 57600 + 240 + 43 = 57883. Babylonialaisten luku 16,4,43 siis vastaa lukua 57883 meidän kymmendesimaalilukujärjestelmässämme. Babylonialaiset eivät tätä muunnosta tietenkään tehneet, vaan koko ajan oltiin 60-kantaisessa lukujärjestelmässä.

60-lukujärjestelmä on myös kätevä ilmaisemaan murtolukuja. Yllä oleva luku murtolukuna olisi vastaavasti:

Koska myös murtoluvut olivat käytössä, babylonialaiset osasivat laskea luvun neliön, neliöjuuren, ensimmäisen, toisen ja jopa kolmannen asteen yhtälön ratkaisun, sekä kolmion kateettien pituuksien neliöiden summan, joka nykyään tunnetaan paremmin nimellä Pythagoraan lause. Babylonialaiset tiesivät myös ympyrän kehän ja halkaisijan suhteen eli piin, jonka suuruudeksi arviotiin . On myös löydetty savitauluja, joissa on matemaattisia tehtäviä oppilaille – eli ensimmäisiä kotitehtäviä. Kun perehtyy sumerilaiseen ja babylonialaiseen kulttuuriin, huomaa, että joissain asioissa siellä oltiin jo paljon pidemmällä kuin kreikkalaiset tuhat vuotta myöhemmin. Babylonialaisessa matematiikassa korostuvat ohjeet ja menetelmät eli algoritmit ongelman ratkaisemiseksi, ja ne kirjoitettiin savitauluihin. Jakolasku muunnettiin kertolaskuksi siten, että luku kerrottiin jaettavan käänteisluvulla, josta tehtiin taulukoita savitauluihin. Esimerkiksi luku on esitetty muodossa 1; 24, 51, 10 eli

Aika hyvin ilman laskukonetta, vai mitä? Lopuksi voit harjoitella 60-lukujärjestelmää parilla harjoituksella.

Harjoitus 1: Muunna seuraavat 10-järjestelmän luvut babylonialaisten 60-lukujärjestelmän luvuiksi. Kuinka se kirjoitetaan?
a) 100 b) 250 c) 1000 d) 2 852

Harjoitus 2: Muunna seuraavat babylonialaisten 60-lukujärjestelmän luvut 10-lukujärjestelmään.