Matemaattisia taikoja ja variaatioita muistilehtiöstäni, osa 8: Möbiuksen rengas
Kun kolme paperivannetta halkaistaan, lopputulos on joka kerta erilainen
Tee paperinauhasta paperivanteita. Kassanauha on erinomaista ja edullista tähän tarkoitukseen. Ensimmäisessä askartelemassasi vanteessa ei ole mitään epätavallista tai salaista.
Leikkaa noin metrin verran kassanauhaa ja liimaa paperinauhan päät yhteen laittamalla paperiliimapuikosta liimaa toiseen päähän nauhaa ja asettamalla liimattu pää nauhan toisen pään päälle. Liimauskohta on paksumpi kuin muu osa nauhalenkistä, mutta tämä ei häiritse temppuilua. Liimauksen jälkeen nauhan pitäisi olla kuin alla olevien kuvien vasemmanpuolinen. Kun tämä vanne halkaistaan saksilla, saamme odotetusti kaksi vannetta, kuten alla olevista kuvista oikeanpuoleisessa näemme. Tämä voi tuntua tarpeettomalta vaiheelta Möbiuksen renkaiden esittelyssä, mutta etenkin taikatemppuilussa tavallisen nauhan kahtia leikkaaminen on tärkeä osa kokonaisuutta.
Leikkaa uusi vanne. Liimatessasi paperinauhan päät yhteen, käännä toista nauhaa 180 astetta. Nyt vanne näyttääkin tältä (alla olevista kuvista vasen), ja kun tämä leikataan saksilla halki, tapahtuu jotain jännää: saat yhden kapeamman vanteen, joka on halkaisijaltaan kaksi kertaa alkuperäisen vanteen kokoinen (alla olevista kuvista oikea).
Jälkimmäinen liimaustyö (vasemmanpuoleinen kuva tuossa ylhäällä) on Möbiuksen rengas tai Möbiuksen nauha (engl. Möbius strip, Möbius band, tai Möbius loop sekä taikurienglannin kielessä Afghan Bands).
Möbiuksen renkaalla on mielenkiintoisia ominaisuuksia. Renkaalla on yksi puoli (pinta) ja yksi reuna. Jos lähdet piirtämään nauhan pintaan viivaa ja jatkat niin kauan, kunnes palaat viivan lähtökohtaan, huomaat, että olet tehnyt viivan renkaan joka paikkaan, molemmille puolille. Voit myös tehdä tussin kärjellä retken renkaan reunaa pitkin. Matkan päätteeksi huomaat, että tussin jälki on renkaan reunojen joka kohdassa. Olet kulkenut vain yhtä pintaa tai vain yhtä reunaa pitkin.
Kuten jo totesin, mikäli halkaiset Möbiuksen renkaan, saat kaksi kertaa suuremman renkaan, (vasemmanpuoleinen kuva tuossa ylhäällä) jossa nauha on siten kierroksella, että jos halkaiset tämän ison vanteen, saat kaksi isoa vannetta, jotka ovat linkittyneenä toisiinsa.
Möbiuksen rengas syntyy siis, jos ennen liimausta paperinauhan toista päätä käännetään 180 astetta tai myös X kertaa 180 astetta, missä X on pariton kokonaisluku.
Historiaa
Möbiuksen renkaan ovat löytäneet saksalaiset matemaatikko ja astronomi August Ferdinand Möbius ja matemaatikko Johann Benedict Listing vuonna 1858, molemmat toisistaan tietämättä. Möbiuksen rengas on kuitenkin löydettävissä paljon vanhemmissa, aina 200-luvulta peräisin olevissa roomalaisissa mosaiikkikuvissa. Näiden vanhojen Möbiuksen renkaiden rakenne saattaa olla täysin sattumaa, eikä perustuisi niiden Möbiuksen renkaiden ominaisuuksien esittelyyn, jotka matemaatikot Möbius ja Benedict löysivät.
Konepajoissa on pitkään käytetty Möbiuksen rengasta koneiden hihnoissa, jotta ne kuluisivat vähemmän. Varhaisin teksti tällaisesta on kuitenkin vasta vuodelta 1871, reilut kymmenen vuotta sen jälkeen, kun Möbius ja Benedict olivat julkaisseet omat kirjoituksensa. Emme siis virallisesti tiedä, onko jokin konepaja keksinyt Möbiuksen renkaan käytön jo ennen vuotta 1858.
Taikatemppuilua
Jotta päästään kunnolla taikatemppuiluun, katsotaan vielä yksi rengasvaihtoehto. Leikkaa uusi vanne. Liimatessasi paperinauhan päät yhteen, käännä toista nauhaa 360 astetta. Vanne näyttää tältä (alla olevista kuvista vasen). Kun vanne leikataan saksilla halki, saat tällä kertaa kaksi samankokoista ohkaisempaa vannetta, jotka ovat linkittyneet toisiinsa (alla olevista kuvista oikea).
Yllä olevilla kolmella vanteella pääsemme temppuilemaan. Möbiuksen renkaiden taikatemppuesitys etenee usein seuraavalla tavalla: taikuri, mahdollisesti kahden avustajansa kanssa, leikkaa kolme pitkää paperilenkkiä pituussuunnassa halki.
Ensimmäinen halkaisu menee kuten jo totesimme. Saamme kaksi erillistä lenkkiä.
Seuraavassa tapahtuukin jotain omituista: lenkit eivät ole erillään, kuten pitäisi, vaan ne ovat kietoutuneet toisiinsa, ikään kuin saksimisessa olisi tapahtunut jotain omituista.
Kolmannella on vielä omituisempi lopputulos: lenkin leikkaajalta häviää kokonaan toinen vanne ja tilalla on yksi kaksi kertaa alkuperäistä isompi lenkki!
Vanteiden leikkuujärjestys ja leikkaamisien tulokset ovat tuossa taikamaisessa järjestyksessä: ensiksi lopputulos on odotetun kaltainen, seuraavaksi tulos on epätavallinen, ehkä hiukan omituinen, ja viimeiseksi saamme jotain todella taikamaisen hämmentävää, täydellisen muodonmuutoksen.
Ylen elävän arkiston sivuilla on video Sirkus Papukaijan ulkoilmaesityksestä vuodelta 1960. Fakiiri Kronblom (Nils Hedengren) viihdyttää yleisöä Onni-Klovnin (Onni Gideon Tervonen) ja sirkustirehtöörin (Orvo Kontio) kanssa. Fakiiri Kronblom leikkaa paperivanteesta kaksi vannetta: Onni-Klovni ja Sirkustirehtööri ihmettelivät, että eihän tuo ole temppu eikä mikään, mutta kun he yrittävät, leikkaaminen epäonnistuu ja molemmat saavat yhden ison paperivanteen. Lopputulos on siis hiukan erilainen kuin aiemmin selostamassani vaihtoehdossa. Videon näet, kun klikkaat alla olevaa linkkiä. Voit myös googlettaa Sirkus papukaijan paperitemppu.
https://yle.fi/aihe/artikkeli/2006/09/08/sirkus-papukaijan-paperitemppu-ulkoilmalavalla
Tällainen käsikirjoitus toimii, kun esiintyjät tietävät, mitä tuossa tapahtuu. Tilanne on sovittu ja yleisökin ymmärtää, että yllätys on näytelty. Toki yleisö hämmästyy oikeasti isojen vanteiden ilmestymistä.
Tätä käsikirjoitusta en suosittele tehtävän tavallisissa taikuriesityksissä: ei kannata luoda tilannetta, jossa yleisöstä vapaaehtoisena otetut avustajat epäonnistuisivat tehtävässään. Tempun sanoma pitää saada vaihtumaan siten, että avustajat onnistuvat, kun lopputulos ei ole odotettu.
Yksi esitystapa voisi olla sellainen, jossa taikuri haluaa kokeilla, onko esiintymispaikassa taikuutta. Hän leikkaa paperivanteen saaden odotetusti kaksi vannetta. Taikuri toteaa, että juuri tässä kohtaa ei ole taikuutta. Sitten kaksi yleisöstä saatua avustajaa kokeilee paperivanteen leikkaamista muissa kohdissa esiintymispaikkaa, ja kuinka ollakaan: lopputulos on kahdella eri tavalla taikamainen!
Yksi suosittu 1900-luvun alun tarina Möbiuksen renkaista kertoo sirkustaikurista, joka tarvitsee vyöt kahdelle klovnille, yhdelle isokoiselle henkilölle ja kahdelle siamilaiselle kaksoselle. Nykypäivänä tuossakin käsikirjoituksessa on uudelleen mietittäviä kohtia.
Vanteet kierteellä
Kun katsot ensimmäisen ja toisen kuvan vasemmanpuoleisia Möbiuksen renkaita, saatat pohtia, että katsojat tajuavat heti, että kaikki kolme lenkkiä on liimattu kokoon eri tavoilla. Niin varmaan kävisi, jos vanteet olisivat yhtä lyhyitä kuin näissä kuvissa. Tosin tällä ei olisi edes merkitystä, jos tarkoituksena on esitellä Möbiuksen rengas topologisena ilmiönä. Mutta taikaesityksissä tämä ei olisi hyvä juttu. Ongelmasta pääset, kun leikkaat nauhat riittävän pitkiksi, reilun metrin pituisiksi. Huomaat, että tavallisestikin liimattu paperivanne ilman ylimääräisiä kierteitä pyrkii koko ajan menemään sykkyrälle. Ominaisuus sotkee kaikki kolme paperinauhaa niin, ettei niiden alkuperäistä rakennetta voi epäillä erilaisiksi. Sirkus papukaijan filmistä näet, että paperirenkailla on reippaasti pituutta. Alla olevassa kuvassa taikurimestari Solmu Mäkelä esittää Möbiuksen rengasta kahden yleisöavustajan kanssa. Huomioi tässäkin pitkät paperivanteet!
Taikatemppuhistoriaa
Gaston Tissandier julkaisi Möbiuksen renkaat ranskankielisessä teoksessaan Les Récréations Scientifiques vuonna 1881 ja kirjansa englannin kielisessä käännöksessä Popular Scientific Recreations vuonna 1883. Tuolloin Möbiuksen renkaat oli lähinnä viihdyttävä kuriositeetti, hauska kokeilu.
Ensimmäinen ammattitaikuri, joka esitti Möbiuksen renkaita taikatemppuna, oli Felicien Trewey 1800-luvun loppupuolella. Taikuri Percy Selbit antoi esitykselle nimen Afghan Bands. Ellis Stanyon markkinoi kaupallista versiota Stanyon’s Magic -lehden vuoden 1903 syyskuun numerossa nimellä Erratic Paper Bands”. 1920-luvulla James C. Wobensmith markkinoi sitä nimellä The Red Muslin Bands. Hän käytti esityksissään helposti revittävää kangasta, mikä helpotti esitystä: nauhat voitiin repiä nopeasti käsin saksien hitaan käytön sijaan.
Afganistanin nauhat olivat suosittu taikatemppu 1900-luvun ensimmäisellä puoliskolla. 1900-luvun lopulla temppu poistui lähes kokonaan ammattitaikureiden ohjelmistoista. Kokemuksesta kerron, että temppu hämmästyttää tänäänkin kaikenikäistä yleisöä.
Möbiuksen renkaat Suomessa
Tässä on luettelo suomenkielisistä kirjoista, joista olen löytänyt Möbiuksen renkaat.
Suomalaisessa taikurikirjassa Möbiuksen rengas kuvataan ensimmäisen kerran 40-luvulla: Werner Anttilan Jokamiehen taikakirjan ensimmäinen painos ilmestyi Kariston kustantamana vuona 1945 (Toinen painos vuonna 1950 ja kovakantinen näköispainos vuonna 1991). Kirjan sisäkannessa Anttila on merkinnyt nimensä eteen sanat Eri lähteistä kerännyt. Kirjan kymmenes kappale on nimeltään Paperitemppuja. Luvun kahdeksas, kirjan sivulla 174 oleva Möbiuksen renkaat on saanut nimekseen yksinkertaisesti Paperivanteet. Kirjan vähäistä kuvitusta ei ole tuhlattu lainkaan tähän temppuun.
Solmu Mäkelän Suuri taikakirja (WSOY) vuodelta 1951 esittelee Möbiuksen renkaat nimellä Ihmeelliset paperirenkaat sivulla 130. Kirjasta on kuusi toisistaan hiukan poikkeavaa painosta, viimeisin vuodelta 1982. Ihmeelliset paperirenkaat ovat niissä kaikissa mukana.
Julius Sundman julkaisi Möbiuksen renkaat nimellä Intialaiset paperirenkaat Tammen vuonna 1959 julkaisemassa kirjassa Taikurikirja (sivu 86).
Walt Disney: Mikki Hiiren taikatemput (SANOMA osakeyhtiö, 1974), Salaperäinen paperisuikale, sivu 112.
Friedrich Stutz: Taikurin käsikirja (Karisto, 1983, toinen painos 1984 ja erilaisella kansikuvalla kolmas painos 992) Paperirenkaat, sivu 258.
Conny Ray: Taikurin kirja (Oy Kirjalito Ab, 1984), Hauskat renkaat, sivut 20–21.
Peter Eldin: Taikurin taskukirja (WSOY, 1986), Afganistanilaisnauhat, sivut 156 ja 157. Kirjassa ehdotettu kilpailuesitys tekee avustajista epäonnistujia, joten en suosittele tätä esitystapaa.
Gina Walker: Taikatemput, Karisto Hotshot-sarja (Karisto, 1987), Kabareetaikoja otsikon alla nimellä Ihmeelliset paperirenkaat, sivut 22–23.
Evans, Keable-Elliot: Kultainen taikurikirja (Tammi, 1990), Afkaaninauhat, sivu 46. Kirjassa annetaan ohjeita tempun esittämiselle, ja varoitetaan karkeasta ja epämiellyttävästä pilanteosta.
Janice Eaton Gilby, Terry Taylor: Velhotaikoja (Karisto, 2003), Aasialaiset renkaat, sivut 123–125.
Joe Fullman: Mahtavat taikatemput (Karisto, 2012). Möbiuksen renkaat on kirjassa kahtena temppuna. Muodonmuutos, kahdeksi renkaaksi halkaistu paperirengas taikoutuu yhdeksi suureksi renkaasi. Sivut 72–73. Renkaat ketjuksi, paperirengas halkaistaan kahdeksi renkaaksi. Taikamaisesti nämä kaksi rengasta linkittyvät toisiinsa. Sivut 74–75.
Markku Purho: Suuri suomalainen taikatemppukirja (Readme.fi), Intialaiset paperirenkaat, sivut 282–283.
Eikä tässä vielä kaikki
Tulen julkaisemaan lisää juttuja Möbiuksen renkaista Facebook-sivullani Viiriäisiä ja suklaakarkkeja pian sen jälkeen, kun artikkeli julkaistaan Dimensiossa.
Lähteet ja lisätietoa
Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Möbius_strip
Magicpedia/Genii magazine: https://www.geniimagazine.com/magicpedia/Afghan_Bands
Martin Gardner: Mathematics Magic and Mystery (Dover, 1959): The Afghan Bands, sivut 70-76.
Yle Elävä historia: https://yle.fi/aihe/artikkeli/2006/09/08/sirkus-papukaijan-paperitemppu-ulkoilmalavalla
Viisi viiriäistä ja kaksi kelmiä (MFKA, 2018), sivut 55 ja 56.
Martti Sirén on hämeenlinnalainen taikuri, matemaagikko, tietokirjailija, kouluttaja, taikuuden historian penkoja, kuvittaja ja tarinoiden kertoja, joskus myös halkaistujen parinauhojen tarinoiden kertoja.
Edellinen taikuriartikkeli: Klassiset matemaattiset temput, osa 7: Kellotaulutemput
MAOLin jäsensivuilta löydät aiheesta tehtävän, jonka voit hyödyntää suoraan opetuksessa: https://maol.fi/materiaalit/topologian-askartelutehtavia/
Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista
