Mitä ovat sanalliset tehtävät

Koulumatematiikan oppilastehtäviä voidaan luokitella matemaattisen sisällön, vaadittavan ajattelun tason tai tehtävän muodon mukaan. Viimeksi mainittuja ovat esimerkiksi numero- ja kirjainlaskut, piirtämistehtävät tai sanalliset tehtävät. Mitä nämä sanalliset tehtävät ovat?

Wikipedian mukaan sanallinen tehtävä on matematiikan oppikirjatehtävä, joka on suunniteltu auttamaan oppilaita matematiikan käsitteiden soveltamisessa reaalimaailman tilanteisiin. Ilmaisulla ”word problem” on myös muita täsmällisiä erikoismerkityksiä matematiikassa, tietojenkäsittelytieteessä ja formaalien kielten tutkimuksessa. [1]

Käsitettä ”sanallinen tehtävä” ei yleensä ole pyritty määrittelemään tarkasti matematiikanopetusta koskevassa kirjallisuudessa, vaan käytetään kuvailevia selityksiä:
”Sanalliset tehtävät nähdään yleensä yksinkertaisina ja lyhyinä, kirjoitetussa muodossa olevina tehtävänantoina, joissa on annettu ainoastaan ratkaisuun vaadittavat välttämättömät tiedot.” [2]
”Matematiikan opetuksessa sanallisella tehtävällä tarkoitetaan erilaisia matemaattisia tehtäviä, joiden tehtävänanto on annettu sanallisessa muodossa, ei matemaattisin merkinnöin.” [3]
Joskus ilmaisua pidetään itsensä selittävänä. Silloin sillä tarkoitetaan tavallisen kielen sanoin esitettyä matemaattista ongelmaa [4]

Sanalliset tehtävät ovat usein yksinkertaisia ja lyhyitä. Niissä on annettu ainoastaan ratkaisuun vaadittavat välttämättömät tiedot [5]. Sanallisista tehtävistä puhutaan usein ongelmanratkaisutehtävinä, vaikka ne olisivatkin mallin mukaan ratkaistavia rutiiniprobleemoita. Ratkaisumalli voidaan jakaa neljäksi vaiheeksi: ongelman hahmottaminen, matemaattisen mallin (lausekkeen, funktion, yhtälön) luominen, matemaattisen ongelman ratkaisu ja ratkaisun kääntäminen takaisin sanalliseksi [6]

Näiden vaiheiden konkretisoimiseen on luotu erityinen työväline: tarinapaperi [7]. Se on kuuteen ruutuun jaettu paperiarkki. Ruutujen otsikot ovat tarina, kysymys sanallisesti, kysymys matematiikan kielellä, ratkaisu välineillä tai piirtämällä, lasku ja sen tulos matematiikan kielellä sekä vastaus sanallisesti. Kaikkien ruutujen täyttäminen auttaa oppilasta näkemään tehtävän eri muodoissa ja jakamaan tehtävän ratkaisun pohtimisen useammaksi vaiheeksi. Tämän korostamiseksi kysymys on vielä erotettu itse tarinasta (kuva). Tarinan/tehtävän ratkaisemisen voi aloittaa mistä kohdasta tahansa, sanallisen tehtävän tapauksessa luontevimmin ruudusta ”tarina”.

Kaksi seitsemäsluokkalaisten itse keksimää tehtävää tarinapaperilla esitettyinä vuodelta 2003. 

Sanalliset tehtävät tuovat matematiikan lähemmäs oppilaan omia kokemuksia ja tuttua ympäristöä tarjoamalla tarttumapintoja konkreettisiin tilanteisiin tai opetuksessa käsiteltyihin asioihin. Yksinkertaisetkin sanalliset tehtävät voidaan siten nähdä pieninä tarinoina. Tarinat tarjoavat myös mahdollisuuksia tunne-elämyksille ja mielikuvitukselle. Tarinallisuudella on sitä suurempi merkitys, mitä nuoremmasta lapsesta on kyse. [8] 

Sanallisia tehtäviä on tutkittu myös kielitieteellisestä näkökulmasta riippumatta tehtävien opetuskäytöstä tai -merkityksestä.  Siitä näkökulmasta ne ovat käytössä olevaa aitoa kieltä, joita voidaan tarkastella teksteinä samalla tavalla kuin mitä tahansa muita tekstiaineistoja [9].  

Juuret kaukana

Tietyssä mielessä voidaan sanoa, että sanalliset tehtävät ovat matematiikan alkuperäinen muoto. Itse asiassa ne olivat matematiikka jo kauan ennen kuin matematiikkaa oli edes keksitty. Yksi varhaisimmista tunnetuista matemaattisista teksteistä on Rhindin papyrus noin vuodelta 1600 eaa. Nykypäiviin säilyneissä osissa on 85 laskutehtävää, esimerkiksi [10]
Lieriönmuotoisen viljasäiliön halkaisija on 9 kyynärää (pituusyksikkö ’meh’, noin puoli metriä) ja korkeus 6 kyynärää. Kuinka suuri määrä viljaa mahtuu siihen?
Tehtävä voisi yksikön muuttaen olla melkein mistä tahansa laskuopista seuraavien kolmen ja puolen vuosituhannen ajalta. 

Runsaasti sanallisia tehtäviä on Pisan Leonardon eli Fibonaccin kirjassa LIber Abaci noin vuodelta 1200 jaa., esimerkiksi [11]
Kuinka monta paria kaniineja voidaan tuottaa yhdessä vuodessa yhdestä parista, jos jokainen pari tuottaa uuden parin joka kuukausi ja jokainen uusi pari alkaa lisääntyä kuukauden ikäisenä eivätkä kaniinit kuole koskaan?
Tämä tehtävä ei ole mikä tahansa laskuharjoitus, sillä siitä on kehittynyt kokonainen matematiikan tutkimusalue Fibonaccin jonon ympärille.

Laskuoppeja kirjoitettiin ensisijaisesti käytännön tarpeisiin eikä opillisen sivistyksen lisäämiseen. Niinpä ensimmäisessä ruotsinkielisessä laskuopissa vuodelta 1614, luku 13, on esimerkiksi tehtävä [12]
Kolme kauppakumppania muodostavat yhtymän. Ensimmäinen sijoittaa 80 taalaria, toinen 40 ja kolmas 20. Hanke tuottaa voittoa 70 taalaria. Kuinka paljon kukin osakas saa, kun voitto jaetaan? (mukailtu ja nykyaikaistettu suomennos).
Tätä kirjaansa tekijä ei kuitenkaan ole kirjoittanut pelkästään käytännön tarpeita ajatellen, sillä hän kutsuu matematiikkaa toisten tieteiden äidiksi ja sanoo tarjoavansa hyödyn lisäksi iloa ja huvia (lust och behag).  Matematiikka on hänen mielestään tarpeen kaikille, sillä ”icke det ringeste torp i världene finnes det denna konst inte behöver”.

Perinne säilyi vahvana aina edellisen vuosisadan jälkipuolelle asti. Kansakoulussa ja oppikoulun alaluokilla oli oppiaineena laskento. Oppikoulun pääsytutkinnossa oli kaksi matematiikan koetta: mekaaniset tehtävät ja sanalliset tehtävät, esimerkki jälkimmäisistä vuodelta 1956 [13], jolloin itse pyrin oppikouluun:
Koulun 284 oppilaasta suoritti hiihtomerkin 136 ja uintimerkin 79. Merkkejä saaneista tuli 57 oppilasta tällöin saamaan kummankin merkin. Kuinka monta sellaista oppilasta oli koulussa, jotka eivät saaneet kumpaistakaan merkkiä?
Tässä viitekehys on jo selvästi lapsen oma ympäristö, vaikka tehtävä ei sinänsä mitenkään käytännön tarpeista lähtevä olekaan.

Kansainvälisyyttä ja koulutusta

Koulumatematiikkaa hallitsee vieläkin vahva, ehkä osin tiedostamaton perinne, jonka varassa samantapaisia tehtäviä on tarjottu oppilaille kielestä ja kulttuurista riippumatta vuosikymmenestä, jopa vuosisadasta toiseen kaikkialla maailmassa. Matemaattisen kulttuurin ylikansallisuus näkyy sekä tehtävien sisällöissä että muodoissa. Monet sanalliset tehtävät (ruots. textuppgift, engl. word problem, ransk. problème de mots, unk. szöveges feladat, vir. sõnaline ülesanne, tavallisemmin tekstülesanne, ven. текстовая задача) ovat hyvin samantapaisia monissa maissa.

Ruotsinkielisessä verkkolähteessä tarjotaan tyypilliseksi sanalliseksi tehtäväksi seuraavaa [14]:
Koiranpentu syö 0,4 kg kuivaruokaa joka päivä. Kuinka pitkäksi ajaksi riittää 20 kg:n säkki?

Englanninkielisestä sanallisesta tehtävästä olkoon esimerkkinä seuraava [15]
Jos maapallon väkiluku kaksinkertaistuu 33 vuodessa, niin kuinka moninkertaiseksi se kasvaa puolessa tästä ajasta?Tehtävä on vuodelta 1980! Ota selvää, mikä on väkiluvun kaksinkertaistumisaika nykyisellä kasvuvauhdilla.

Ranskalainen esimerkki [16] voisi olla mistä tahansa suomalaisesta laskennon tai matematiikan oppikirjasta melkein miltä ajalta tahansa:
Ann on kolme kertaa niin vanha kuin hänen pikkuveljensä Bob. Viiden vuoden päästä hän on vain kaksi kertaa vanhempi. Kuinka vanhoja he ovat nyt?

Suljettua tehtävää ei tarvitse muuttaa paljonkaan, kun siitä saadaan avoimempi, johon ei odotetakaan vastaukseksi vain yhtä lukua. Esimerkki on unkarilaisesta oppimateriaalista muokatussa suomalaisessa oppikirjassa [17]:
Puutarhuri istuttaa 60 tomaatintaimea, jokaiseen riviin saman verran. Kuinka monta riviä voisi olla ja kuinka monta taimea on yhdessä rivissä?

Virolainen yhdeksännen luokan esimerkki [18] on myös sekä muodoltaan että sisällöltään täysin kansainvälinen:
Merivesi sisältää 5 % suolaa. Kuinka paljon makeaa vettä on lisättävä 210 kg:aan merivettä, jotta saadaan seos, joka sisältää 3 % suolaa?

Venäläinen esimerkki on vuoden 2013 valtiollisesta yhdeksännen luokan kokeesta:
Ensimmäisen putken kautta vettä tulee 2 litraa minuutissa vähemmän kuin toisen putken kautta. Kuinka monta litraa vettä menee minuutissa toisen putken kautta, jos 130 litran astia tulee täyteen toisella putkella 4 minuuttia nopeammin, kuin 136 litran astia ensimmäisellä putkella.
(Käännös Anastasia Vlasova.)

Alussa mainittua Wikipedian määritelmää voidaan pitää vanhakantaisena ja suppeana. Nykyisen opettamiskäsityksen mukaan ”sanallisia tehtäviä tarvitaan laskutoimitusten ymmärtämiseen. Niillä myös kehitetään ongelmaratkaisukykyä”. Varga-Neményi-pedagogiikassa sanallisilla tehtävillä on kolme tarkoitusta: laskutoimitusten havainnollistaminen, ongelmaratkaisuajattelun kehittäminen sekä suullisen ja kirjallisen tekstinymmärtämisen ja -havainnollistamisen kehittäminen [19].

Matematiikanopetuksen päämäärät ovat alkaneet muuttua viimeisten vuosikymmenien aikana ja sanalliset tehtävät niiden mukana. Mukaan on tullut yhä enemmän tutkimustehtäviä tai monivaiheisia ja avoimia tehtäviä, joiden ratkaisemiseen voi kuulua myös olennaisen tiedon valintaa niin, että tehtävässä on muitakin lukuja kuin vain ne, joilla on tarkoitus laskea. Eivätkä tehtävät ole myöskään pelkästään opitun matematiikan soveltamista, vaan niiden avulla voidaan myös tutustua opittavaan aiheeseen. Oman aktiivisen piirteensä tuovat oppilaiden itse keksimät sanalliset tehtävät. 

Sanallisten tehtävien käyttöä ja merkitystä on käsitelty Joustavan matematiikan kursseilla [20]. Tutustumisen arvoinen on Teija Laineen kokoama, alussa mainittu Turun matikkamaan julkaisu Matematiikan sanalliset tehtävät – Tehtävän ymmärrys [4]. Sen esipuheessa akatemiaprofessori Erno Lehtinen kirjoittaa muun muassa, että ”onkin tärkeää, että opettajilla on käytössään monipolvisempia ja todellisista käytännön tilanteista kumpuavia tehtäviä. Toisaalta esimerkiksi oppikirjoissa valmiina olevia tehtäviä on mahdollisuus rikastaa lisäämällä niihin ongelmanratkaisua monipuolistavia ja tehtävien kiinnostavuutta lisääviä elementtejä. Mekaanisessa laskutoimitusten harjoittelussa tehtävien suurella määrällä on merkitystä. Sen sijaan syvällisempää ongelmanratkaisua voidaan harjoitella paljon vähäisemmällä määrällä tehtäviä, joihin keskitytään kunnolla. Jos opettajilla on käytettävissään käytännön koulutilanteissa kehitettyjä ja testattuja vaativampia tehtävätyyppejä, niin niistä saatavien ideoiden perusteella on helppo laatia myös omia tehtäviä.”

Lähteitä ja lisää luettavaa

[1] Wikipedia Word problem osoitteessa https://en.wikipedia.org/wiki/Word_problem

[2] Sipiläinen-Ersta, J. Matematiikan sanalliset tehtävät ja niiden opettaminen alkuopetuksen opettajien kokemana, pro gradu -tutkielma 2020 osoitteessa
https://jyx.jyu.fi/bitstream/handle/123456789/72351/1/URN%3ANBN%3Afi%3Ajyu-202010276400.pdf

[3] Rannanpää, J. Sanalliset tehtävät oppilaiden kokemina, pro gradu -tutkielma 2013 osoitteessa
https://erepo.uef.fi/bitstream/handle/123456789/12309/urn_nbn_fi_uef-20130667.pdf

[4] Laine, T. (toim.) Matematiikan sanalliset tehtävät. Tehtävän ymmärrys. Turun Matikkamaa 2015
https://www.yumpu.com/fi/document/read/38278592/matematiikan-sanallisen-tehtavat-tehtavan-ymmarrys-edufi

[5] Joutsenlahti, J. ja Vaionpää, J. Oppimateriaali matematiikan opetuksessa ja osaamisessa. Teoksessa E.K. Niemi & J. Metsämuuronen (toim.) Miten matematiikan taidot kehittyvät? Matematiikan oppimistulokset peruskoulun viidennen vuosiluokan jälkeen vuonna 2008. Koulutuksen seurantaraportti. 2010:2. Helsinki: Opetushallitus, 137–148.

[6] Wennström, K. Opas matematiikan alkuopetukseen Varga-menetelmällä (kolmas luokka), luku 5, osoitteessa https://matematiikkalehtisolmu.fi/2003/unkari/3lk/

[7] Ikäheimo, H. ja Voutilainen, E. Tee, piirrä, kerro ja ymmärrä! osoitteessa https://opperi.fi/02_opetusvinkkeja/2211_tarinapaperi.html tai uudemmat versiot tarkemmin teoksessa Hannele Ikäheimo (2021): Matematiikan osaaminen vahvaksi. Iloa opetukseen ja oppimiseen, s. 115–120. ELLI Early Learning Oy.

[8] Hytti, P. Mielikuvituksella mielekkyyttä matematiikkaan. Tarinankerronta matematiikan opetusmetodina perusopetuksessa. Pro gradu -tutkielma 2007 osoitteessa
https://trepo.tuni.fi/bitstream/handle/10024/78336/gradu02063.pdf?sequence=1&isAllowed=y

[9] Lauri, L. Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen sanallisten tehtävien tekstilaji. Pro gradu -tutkielma osoitteessa
https://helda.helsinki.fi/bitstream/handle/10138/135530/lyhyenma.pdf?sequence=1&

[10] Korhonen, H. Matematiikan historian henkilöhahmoja. MFKA-Kustannus 1995.

[11] Fibonacci’s Liber Abaci (Book of Calculation) osoitteessa
https://www.math.utah.edu/~beebe/software/java/fibonacci/liber-abaci.html

[12] Aurelius, Æ. Arthmetica Eller Een Kort och Eenfaldigh Räknebook osoitteessa
http://digi-tilaukset.lib.helsinki.fi/pelastakirja/p13-05_arithmetica_eller_een_kort.pdf

[13] Oppikoulun I lk:lle pyrkineiden pääsytutkintokokeet keväällä 1956 osoitteessa
https://piikiikanmaailma.files.wordpress.com/2015/04/paasykoe1956.jpg

[14] Andersson, P. ja Hamrelius, Fr. Lärares uppfattningar om textuppgifter i matematikundervisningen. Examensarbete i matematik 2014, osoitteessa https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:726276/FULLTEXT01.pdf

[15] Bushaw, D. ym. A Sourcebook of Applications of School Mathematics. National Cuncil of Teachers of Mathematics, Reston Va., USA 1980.

[16] Problème de mots osoitteessa https://fr.qaz.wiki/wiki/Word_problem_(mathematics_education)

[17] Neményi, E. ym. Matematiikkaa 4a, s. 148. Varga–Neményi ry 2020.

[18] Lepmann, L. Üleandeid keskkooli matematiika lõpueksamiks. Tallinn, Koolibri, 1994.

[19] Lampinen, A. Opettajan tienviitta 4a, 32. Varga–Neményi ry [2020].

[20] JoMa — Joustavaan Matematiikkaan osoitteessa https://www.flexibility.fi/

Kirjoittaja