Olisiko metkasta matematiikasta harrastukseksi sinulle

Tiede ja teknologia

6.10.2022

Matematiikka ei ole vain vakavaa tiedettä ja teknistä laskentaa. Siitä on myös harrastukseksi ja aivoja virkistäväksi ajanvietteeksi maallikollekin. Tällainen metka matematiikka (engl. recreational mathematics) on Amerikan matemaattisen yhdistyksen luokituksessa yksi seitsemästätoista matematiikan osa-alueesta [1]. Yksinkertaisistenkin kuvioiden tai kuvaajien konstruointi hieroo älynystyröitä ja tuottaa parhaimmillaan myös esteettistä mielihyvää ainakin tekijälle itselleen.

Käytän tässä esimerkkinä GeoGebraa, koska se on kaikkien saatavissa ilmaiseksi verkosta sekä tietokoneelle että älypuhelimelle. Sitä voidaan siis käyttää sekä koulussa ja kotona että muutenkin vapaa-aikana. Siinä on mahdollisuus sekä ohjelmointiin että vapaaseen piirtämiseen. Valmiiksi ohjelmoitujen työkalujen – kuvioiden, funktioiden jne – ansiosta aloittelevakin harrastaja pääsee helposti alkuun ja saa tulosta vähällä vaivalla.

Kouluopetuksessa voisi ehkä olla hyväksi tuoda nykyistä enemmän esille matematiikan mahdollisuuksia elämyksellisyyteen ja oma-aloitteisuuteen ajattelun ja luovuuden kehittämisessä, vaikka ei koko ikäluokan osalta välttämättä niin vaativin tavoittein kuin STEAM-tyylisissä peli- tai robotiikkaprojekteissa [2]. Koulun merkitys matematiikan harrastamisen herättämisessä on kuitenkin suuri, sillä sellaista on vaikea ruveta harrastamaan, mitä ei tiedä olevan olemassakaan. Ja jos etsit aikuisiällä uutta älyllistä harrastusta, niin metka matematiikka voisi olla sellainen. Eikä sen tarvitse nykyään olla yksin puurtamista, sillä matematiikanharrastajien ryhmiä on paljon sekä Suomessa että kansainvälisesti monella verkkoalustalla.

Esimerkkikuvioita

Jo yksinkertaisista peruskuvioista voi saada aikaan monenlaista tekemistä ja pohtimista. Ensimmäisen esimerkkikuvion [3] pohjana (kuva 1) on vihreä neliö, sen päällä samankeskinen keltainen ympyrä ja edelleen punainen säännöllinen monikulmio. Tämä luodaan komennolla

Kuvio1(B, A, n)

missä A ja B ovat suoraan piirtoalueelle merkittävät yhden sivun päätepisteet ja n on kokonaislukuarvoja saava graafinen lukumuuttuja (liuku), jonka avulla valitaan sivujen lukumäärä. Monikulmion yhdelle sivulle piirretään tasasivuinen kolmio Kuvio2, jota kierretään yhteisen keskipisteen O ympäri tarpeeksi monta kertaa säännöllisen monikulmion jokaiselle sivulle:

Jono(Kierto(Kuvio2, t 360^o / n, O), t, 1, n – 1)

Työskentely etenee komento kerrallaan niin kuin ohjelmoitaessa, vaikka mitään ohjelmaa ei kirjoitetakaan, vaan kunkin vaiheen toteutuksen onnistumisen näkee välittömästi.

Erilaisia tähtimäisiä kuvioita — Kuva 1: Yksittäiset kuviot sinänsä eivät varmaankaan ole vielä taidetta, mutta aiheen varioinnissa on ehkä jo ripaus taiteen tuottamisen ja kokemisen piirteitä.

Vastaavasti funktioiden kuvaajista voi saada kuvan, jota tarkastelemaan silmä pysähtyy, esimerkiksi antamalla funktion

y = a sin(bt)

parametreille a ja b erilaisia arvoja (kuva 2). On hyvä muistaa, että visuaalinen miellyttävyys, kauneus, on sanonnan mukaan katsojan silmässä. Joku voi nähdä siinä vain sekamelskaa ennen kuin alkaa hahmottaa säännöllisiä rakennepiirteitä. – Voisiko tällaisilla esityksillä olla vaikutusta koulumatematiikan tuottamien matematiikka-allergikkojen mielikuviin, jos ne auttavat unohtamaan matematiikan ja vain keskittymään katsomiseen (kuitenkin tietäen, että sen tekemisen takana on matemaattinen käsite)? Itse suunniteltu ja tehty kuvio vetoaa syvemmin tekijäänsä kuin paraskaan oppikirjatehtävä.

Värikkäitä siniaaltoja — Kuva 2: Tuottaako sinikäyrän muuntelu visuaalista mielihyvää vai näyttääkö kuva vain viivasotkulta?

Matematiikan tekemisessä vain mielikuvitus on rajana. Käytin tätä parametrikäyrää (kuva 3) eDimension vuosikertakoosteen kansikuvana vuonna 2012 [4].

Sydämenmuotoisen kuvion piirtävä käyrän kaava — Kuva 3: Sydämen saa piirretyksi Geogebrassa esimerkiksi parametrimuotoisella käyrällä.

Parametrikäyrä taipuu myös ruusukuvioiden tuottamiseen (kuva 4), esimerkiksi

x = cos(nt) sin(t)

y = cos(nt) cos(t)

missä 0 ≤ t ≤ 2π ja n määrää terälehtien luvun.

Kukkakuvion muunnelmia — Kuva 4: Ruusun terälehtien määrää voi säätää liu’ulla.

Parametrikäyrillä voi piirtää kaikenlaista muutakin, esimerkiksi Albert Einsteinin kasvokuvan (kuva 5), vaikkakin työläästi, sillä muotokuvan sinifunktioista koostuvat koordinaattilausekkeet ovat kymmenien rivien pituisia [5].

Kaksi versiota Einstein näyttää kieltä -kuvasta — Kuva 5: Einstein matemaattisina käyrinä (Wolfram Alpha) ja valokuvana (CC0 Public Domain).

Verkossa on paljon ruusukäyriä käsitteleviä sivustoja [6], [7]. Usein niiden piirtämiseen käytetään napakoordinaatteja. Arvelin ensin niiden menevän kaltaiseni kuvanharrastajamaallikon tarpeiden ja matemaattisen ymmärryksen yli. Mutta eipä vainkaan. Ruusukuvion piirtämisestä napakoordinaatistoon selvitään jopa edellistä yhtälöparia yksinkertaisemmalla koodilla. Tarvitaan vain kolme lukuparametria (liukua) a, p ja q ja yksi lauseke $r = a\ sin(\frac{p}{q} \alpha)$

Samasta lausekkeesta saadaan parametreja säätelemällä [8] mitä monimuotoisimpia käppyröitä (kuva 6).

Muunnelmia ruusukuviosta — Kuva 6: Ruusukuvioista tulee monimutkaisia, kun sinin argumentin kerroin p / q ei ole kokonaisluku.

Ideoinnilla ei ole tässäkään mitään rajaa. Voidaan lisätä yksityiskohtia, leikkiä dynaamisilla väreillä tai säätää parametreja (kuva 7). Terälehdet voidaan ”nyppiä” pois tarkasti yksitellen, kun kulmaparametrin animaatioaskel valitaan sopivasti, seitsenlehtisen ruusun tapauksessa 180^o / 7 (kuva 7, oikeanpuoleinen osakuva). Reunakoristelut alkavat käyrällä olevasta pisteestä. Tiheys voidaan valita vapaasti sen animaatioaskeleella; suunta on kohtisuoraan käyrää vastaan, kun koristelujanan toinen päätepiste on käyrän tangentin normaalilla.

Värikkäitä ruusukuviomuunnelmia — Kuva 7: Ruusukuviomuunnelmia

Geogebran komennoilla tai ohjelmointikielillä ohjelmoimalla saa toki hienoja kuvioita ja halutessaan niin monimutkaisia, että kukaan ei jaksaisi niitä piirtää eikä pystyisikään piirtämään samalla tarkkuudella. Se, mikä puuttuu, on vapaa leikki. Geogebrassa tämä voidaan toteuttaa yksinkertaisissa tapauksissa toiminnolla

tai raahaamalla pistettä piirtoalueella, kun jälki on valittuna objektin ominaisuuksista

Monimutkaisemmasta piirroksesta on esimerkkinä kaksitoista samalle ympyrälle tasavälisesti aseteltua, toisistaan riippuvaa pistettä (kuva 8, vasen osakuva). Kaikki muut pisteet piirtävät saman kuvion samanaikaisesti, kun pistettä A siirretään [9]. Jotain kiehtovaa tässä leikissä täytyy olla, sillä esimerkiksi GeoGebran verkkomateriaaleissa on viidettä sataa kaleidoskoopin nimellä (kaleido, kaleidoskooppi, kaleidoskop, kaleidoscope, caleidoscope) kulkevaa, vastaavaan ideaan perustuvaa työtä.

muunnelmia kaleidoskooppityyliin — Kuva 8: muut yksitoista pistettä piirtävät saman kuvion kuin sininen piste A.

Näistä pienistä kuvanpiirtoharjoituksista on vielä pitkä matka tietokoneen avulla tehtyyn digitaaliseen taiteeseen (engl. computer art, digital painting). Sitä tekevät ammattilaiset sekä itsensä taiteen vuoksi että monien alojen kuten mainonnan, julkaisemisen ja elokuvateollisuuden sovellusten takia. Kaupalliseen tuotantoon käytettävät ohjelmat ovat laajoja erikoisohjelmistoja. Silti edellä kuvatun kaltainen työskentely vaikkapa ilmaisella matematiikkaohjelmistolla antaa harrastajatekijälle mahdollisuuksia oman luovuutensa käyttämiseen ja kehittämiseen sekä tuottaa samantapaisia onnistumisen ja nauttimisen elämyksiä kuin ammattimainenkin taiteen tekeminen. Harrastaja ei tosin varmaankaan nimitä tuotoksiaan taiteeksi, mutta raja ei lopultakaan ole kovin jyrkkä, mitä osoittaa esimerkiksi New Yorkin Matematiikan kansallisen museon MoMathin – ei siis MoMA – järjestämä Geogebra-työpaja [10].