Matematiikkakuvia – kuvia matematiikasta
Matematiikkakuvalla tarkoitetaan usein käsitystä, joka jollakin ihmisellä tai ihmisryhmällä on matematiikasta. Matematiikkaan liittyvät kuvat heijastavat näitä käsityksiä ehkä enemmän kuin me tai kuvantekijä itsekään tulee ajatelleeksi.
Mitä tulee ensimmäisenä mieleen sanasta ”matematiikka”? Verkkohaun kuvat antavat ymmärtää, että matematiikka on sekava kaavarykelmä tai -viidakko, sillä esimerkiksi Google-kuvahaun ”mathematics” 50 ensimmäisestä tuloksesta enemmän kuin kaksi kolmasosaa on sellaisia kuvia1. Ne eivät ole suinkaan mitään parodioita, vaan ainakin osa on tarkoituksella tehtyjä maksullisia kuvituskuvia. Matematiikka näyttäytyy niissä kovin ulkokohtaisena ja epäkiinnostavana. Myös vanhanaikaisena, kun monet kuvista ovat kuin liitutaululle piirrettyjä.
Yllättävää on, että samaa käsitystä matematiikasta viljelevät myös vastaavan suomenkielisen haun tulokset, esimerkiksi Rakastan matematiikkaa -sivusto2.
Sama henki välittyy myös Intohimosta matematiikkaan -sivuston kuvasta3.
Kuvien lähteitä ei ole kerrottu kummallakaan sivustolla, ei myöskään tekijöitä. Kumpikin kuva kertoo samaa tarinaa kaavakeskeisestä ja irrallisista palasista koostuvasta matematiikasta. Sellaisen oppimista on kuvannut hyvin Päivi Perälä pro gradu -työssään4:
”Matematiikka oli itselleni täysin ymmärrettävää ja helppoa murrosikään saakka. Siinä vaiheessa matematiikantuntien looginen sisällöllinen eteneminen loppui ja siirryttiin oppikirjan mukana aiheesta toiseen. – – En osannut kytkeä opiskeltavia asioita ennen opittuun, enkä ymmärtänyt enää mistä oli kyse. Kukaan ei esittänyt matematiikan ”karttaa”, sitä missä olin menossa, tai mihin päämäärään kukin opiskeltava asiapolku johtaisi tällä kartalla. – – Mitään ei selitetty, ruvettiin vain laskemaan.”
Matematiikkakuvan merkitys on suuri, sillä se ohjaa sekä opettajan opetustapaa että oppijan tulevaisuuden valintoja vähintään yhtä paljon kuin tiedolliset oppimistulokset. Valinta alkaa viimeistään siirryttäessä perusopetuksen yläluokille. Valitaanko tavallinen luokka vai matematiikkaan tai luonnontieteisiin painotettu luokka. Valitaanko lukioon mentäessä pitkä vai lyhyt matematiikka tai muussa toisen asteen koulussa opintosuunta, jossa matematiikka on keskeisessä asemassa. Uskalletaanko korkea-asteen koulutuksessa suuntautua opintoihin, joissa tarvitaan matematiikkaa.
Matematiikkakuva on varmaankin osin tiedostamaton, sillä kuva ja sana eivät pidä aina yhtä silloinkaan, kun sanoin ilmaistu tarkoite on ymmärtämiseen perustuvan oppimiskäsityksen mukainen, esimerkiksi lähteessä [3]. Eikä ongelma ole suinkaan mitenkään erityisesti suomalainen, sillä esimerkiksi Baluchistanin yliopiston sivulla5 luvataan laadukasta koulutusta ja sanotaan, että ”laitos pyrkii tukemaan matematiikan ymmärtämistä sekä opetuksessa että tutkimuksessa”, mutta matematiikkaa luonnehditaan kuitenkin kaavoja vilisevällä kuvalla.
Matematiikkakuva voidaan nähdä kattoterminä sille, millaisia mielleyhtymiä sana ”matematiikka” herättää. Se koostuu tiedoista, käsityksistä, uskomuksista, asenteista ja tunteista, jotka ovat syntyneet kunkin ihmisen matematiikkakokemuksista. Se on siis yksilöllinen. Useimmiten siitä puhutaan oppimisen yhteydessä6, 7, 8. Tässä asiayhteydessä matematiikkakuvan käsitettä alettiin käyttää 1990-luvun puolenvälin tienoilla9.
Koulumatematiikan perusteella muodostunut matematiikkakuva ei tee aina oikeutta tiedonalalle nimeltä ”matematiikka”. Se on monesti jäykkä ja sekava. Se sulkee pois kouluopetuksesta myös matematiikalle luonteenomaisen luovan ajattelun10, 11, 12. Todellisuudessa matematiikka on mitä luovin oppiaine, joka pyrkii esittämään tietämyksensä loogisesti jäsentyneinä kokonaisuuksina ja keksimään yhä uusia käsitteitä ja käsiterakennelmia. Matematiikka on osoittautunut myös hämmästyttävän käyttökelpoiseksi työvälineeksi hyvin monella alalla sekä käytännön työssä että teorianmuodostuksessa. Monia ilmiöitä onkin onnistuttu ennustamaan jo paljon ennen kuin niitä on havaittu käytännössä.
Kuvien mahdollisuuksia
Matematiikkakuva voisi tarkoittaa myös yksittäistä kuvaa jostakin matematiikkaan liittyvästä asiasta yhtä hyvin kuin (yksilön tunteman) matematiikan hahmottamista. Perinne on ikivanha. Kuvia on ollut jo sumerien savitauluissa, egyptiläisten papyrusrullissa ja Eukleideen Alkeissa. Jotenkin ristiriitaista on, että kuvien käytöstä voidaan kirjoittaa pitkiäkin juttuja käyttämättä yhtään kuvaa13.
Nykyään kuva on niin olennainen osa matematiikan esittämistä ja ymmärtämistä, että matematiikkaa on luonnehdittu visuaaliseksi oppiaineeksi14. Kuvia voidaan käyttää muun muassa käsitteiden selittämiseen, oppimista tukevaan havainnollistamiseen, ongelmanratkaisun apuna ja datajoukkojen visualisoimiseen15. Dynaamiset matematiikkaohjelmat ovat nostaneet kuvan käytön ihan uudelle tasolle. Olkoot esimerkkeinä kolmannen asteen polynomifunktio16, kuution tasoleikkaus17 ja histogrammi18, tässä still-kuvina, viitelinkkien takana dynaamisina.
Ohjelmointi antaa mahdollisuuden sellaistenkin kuvien tuottamiseen, joiden piirtäminen käsin olisi ylivoimaisen työlästä, esimerkiksi Mandelbrotin joukko19.
Kuvat eivät ole opetuksessa vain sanallisia selityksiä tukevia apuvälineitä, vaan ne voivat olla myös oppimiskeskustelun lähtökohtia. Ne voivat myös rikastaa ja avartaa ajattelua osoittamalla, että matematiikka ei ole vain kaavoja, laskemista ja sääntöjä, vaan myös muotoja, suhteita, loogista päättelyä ja mielikuvituksen lentoa20. Kuvat voivat avata suljetun koulumatematiikkakuvan rajoja luovan ajattelun suuntaan, esimerkiksi pallokaksikulmio21, hyperkuutio22 ja Rissasen sub rosa -laatoitus23. Vielä pitemmälle yli koulumatematiikan tavanomaisten rajojen voidaan siirtyä tutkimalla matematiikan ja taiteen yhteyksiä24.
Lähteitä ja lisää luettavaa
[1] Google-haku ”mathematics” kuvahaku
[2] Facebook-ryhmä Rakastan matematiikkaa https://www.facebook.com/groups/113557938672387/
[3] Espoon matikkamaa – matematiikka on kiehtovaa! https://www.espoonmatikkamaa.fi/
Sivusto ei ole Espoon matematiikkamaan sivusto, vaan se on luotu sen jälkeen kuin oikean Espoon matikkamaan toiminta lopetettiin. Sivuston tekijä ei käy ilmi sivustolta.
[4] Perälä, Päivi: Parasta on aloittaa siitä, kuinka minä ja matematiikka tapasimme. Tyttöjen ja naisten matemaattisten opiskeluvalintojen syitä ja taustatekijöitä.
Kasvatustieteen pro gradu -tutkielma, Luokanopettajasta maisteriksi -ohjelma, Chydenius-Instituutti, Kokkolan yliopistokeskus, Jyväskylän yliopisto, syksy 2004.
https://jyx.jyu.fi/bitstream/handle/123456789/19409/URN_NBN_fi_jyu-200812035925.pdf?sequence=1&isAllowed=y
[5] Balochistan University of Information Technology, Department of Mathematical Sciences https://www.buitms.edu.pk/Mathematics
[6] Pehkonen, Erkki: Oppilaiden matematiikkakuva. Kansainvälisen vertailuprojektin alkuraportti (englanniksi!). Helsingin yliopiston opettajankoulutuslaitos, tutkimuksia n:o 152, 1995
https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED419712.pdf
[7]Huokuniemi, Michelle: Matematiikkakokemukset matematiikan oppimisen ja matematiikkakuvan rakentajina peruskoulussa. Tampereen yliopisto, Kasvatustieteiden ja kulttuurin tiedekunta, pro gradu -tutkielma, toukokuu 2021.
https://trepo.tuni.fi/bitstream/handle/10024/132407/HuokuniemiMichelle.pdf?sequence=2
[8] Pietilä (myöh. Laine), Anu: Luokanopettajaopiskelijoiden matematiikkakuva – Matematiikkakokemukset matematiikkakuvan muodostajina. Helsingin yliopisto, väitöskirja, Helsinki 2002. Helda, Helsingin yliopiston avoin julkaisuarkisto https://helda.helsinki.fi/items/76a01c6d-9850-4fb7-b943-6a3bb7439111
[9] Tossavainen, Timo: Matematiikan kieliaspekti ja matematiikkakuva, s. 236. Teoksessa Niikko, A. ym: Oppimista, opetusta, monitieteisyyttä. Kirjoituksia Kuninkaankartanonmäeltä (s. 233–243). Joensuun yliopisto, Savonlinnan opettajankoulutuslaitos.
https://www.researchgate.net/publication/288669113_Matematiikan_kieliaspekti_ja_matematiikkakuva/link/5a731506aca2720bc0dac4c8/download?_tp=eyJjb250ZXh0Ijp7ImZpcnN0UGFnZSI6InB1YmxpY2F0aW9uIiwicGFnZSI6InB1YmxpY2F0aW9uIn19
[10] Pehkonen, Erkki (1995): Tutkiva matematiikan oppiminen peruskoulussa (englanniksi)
https://scholar.google.fi/scholar_url?url=https://journal.fi/tt/article/download/57322/19355&hl=fi&sa=X&ei=QZVRZqmAGezKy9YP9eq-4A8&scisig=AFWwaeaxwBcI5nVX9oJTSewhriKZ&oi=scholarr[11] Leskinen Johanna: Luovuus matematiikan opetuksessa. FM-tutkielma. Matemaattisten tieteiden laitos, Oulun yliopisto, Kevät 2014.
https://oulurepo.oulu.fi/bitstream/handle/10024/39781/nbnfioulu-201403041147.pdf?sequence=1&isAllowed=y
[12] Korhonen, Hannu: Luovuus, koulu ja matematiikka. Julkaisussa: Dimensio 82 (2018): 2, s. 19–23.
[13] Esimerkiksi Lindner, Marlit Annalena: Representational and decorative pictures in science and mathematics tests: Do they make a difference? Learning and Instruction, ScienceDirect, Elsevier. Osoitteessa https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0959475219307054
[14] How to Boost Student Engagement with Math Pictures https://www.mashupmath.com/blog/math-pictures
[15] Saana Kinnunen, Saana: Visualisointi matematiikan oppimisessa.
Pro gradu -tutkielma, kesäkuu 2021, Fysiikan ja matematiikan laitos, Itä-Suomen yliopisto
Opinnäyte ei ole vapaasti luettavissa verkossa, mutta saatavissa pyydettäessä.
[16] Geogebra-matletti https://www.geogebra.org/m/xGmPS32z
[17] Geogebra-matletti https://www.geogebra.org/m/KG7Pkt89
[18] Geogebra-matletti https://www.geogebra.org/classic/jRNd3zgw
[19] Geogebra-matletti https://www.geogebra.org/m/XSXP6ADW
[20] Acosta, Kristen (2021): How to Spark Engagement in Math With Pictures. Edutopia https://www.edutopia.org/article/how-spark-engagement-math-pictures
[21] Korhonen, Hannu: Pallogeometrian perushahmotusta, osa 3. Dimensio 3.4.2019
https://dimensiolehti.fi/pallogeometrian-perushahmotusta-osa-3/
[22] Gaeogebra-matletti Tesseraktin luominen kuutiota siirtämällä
https://www.geogebra.org/m/hhjyuu5e
[23] Korhonen, Hannu: Sub rosa. Dimensio 6/2018 s. 40–41.
[24] Viro, Elina: Matikkataidetta
https://sites.tuni.fi/uploads/2019/11/40cdf654-matikkataidetta_kaikki.pdf
