Klassiset matemaattiset taikatemput, osa 15: Lasketaan kilpaa
(Add a Number, Macig Math Sticks, Magic Math Blocks, Lightning Calculator’s Addition)
Tämänkertainen juttuni lähti liikkeelle, kun halusin menneen kesän keskiaikamarkkinat-tyyppisten tapahtumien esitykseeni uusia temppuja. Muistin vanhan tempun, jossa kisaillaan katsojan kanssa siitä, kuka laskee nopeammin useampia viisinumeroisia lukuja yhteen. Taikuri kirjoittaa paperille oikean summan ennen kuin katsoja ehtii edes aloittaa yhteenlaskuja. En lähtenyt kirjoituslinjalle, vaan tein numerotorneja.
Temppu
Tein kuusi kuvan mukaista palikkaa. Jokaisen palikan sivussa on allekkain viisi numeroa.
Katsojalla on paljon vaihtoehtoja, joista valita:
– Kuinka monta palikkaa hän haluaa käyttää?
– Missä järjestyksessä palikat ovat pöydällä?
– Mikä palikan sivu on katsojaan päin?
Alla olevassa kuvassa on esimerkki katsojan valinnoista. Neljä palikkaa on vierekkäin. Palikoiden ylimmät numerot, ylin rivi, muodostaa nelinumeroisen luvun 3991.
Kakkoslukujen rivi muodostaa nelinumeroisen luvun 6238. Samalla tavalla palikoissa on vielä numerot 1355, 4646 ja 8414.
Katsojan tehtävänä on laskea nämä viisi nelinumeroista lukua yhteen. Vaikka katsoja käyttäisi laskinta, taikuri on aina nopeampi. Hän kirjoittaa oikean vastauksen, tässä esimerkissä luvun 24644 samalla hetkellä, kun katsoja on tehnyt valintansa.
Esityksessä katsojalla on paljon enemmän puuhaa ja laskettavaa kuin taikurilla. Taikurin työ on jo tehty ennen esitystä: palikat antavat vastauksen taikurille saman tien.
Taikuri kirjoittaa toiseksi alimman rivin, esimerkissämme 4646 pienin muutoksin: luvun eteen kirjoitetaan 2 ja ensimmäisestä numerosta (6) vähennetään 2. Näin saadaan vastaus ja summa 24644.
Eikä tässä vielä kaikki
Yllä kerrottu on efektinä kilpalaskentaa eikä siinä oleva matematiikka häikäise. Tempun rakentaminen onkin eri juttu, ja siihen pääsemme hetken kuluttua.
Entäpä jos katsoja olisi tehnyt äskeisen palikoiden valinnan niin, että taikuri olisi ollut pöydän toisella puolella ja silloinkin selkä kohti katsojaa ja hänen valintojaan?
Katsojan näkemä tilanne olisi siis edelleen sama, uusintana tuossa alapuolella vasemmassa kuvassa. Mutta tämä ei tietenkään ole tätä mitä taikuri näkee. Se on oikeanpuoleisessa kuvassa. Tuon perusteella taikurin pitäisi arvata, mitä katsoja näkee ja varsinkin, minkä tuloksen katsoja saa näkemänsä nelinumeroisten lukujen summaksi.
Edellisestä paljastuksesta tiedämme vastauksen olevan 24644. Tämä rakentui katsojan suunnalta katsottuna toiseksi alimmasta rivistä, jossa on jo valmiina luku 4646. Kakkonen luvun eteen ja ensimmäisestä (kuutosesta) kaksi pois.
Tämä tieto löytyy myös palikoiden vastakkaiselta puolelta kakkosriviltä, luettuna oikealta vasempaan. Kakkosrivi on 6464. Luettuna oikealta vasemmalle se on tarkalleen sama kuin katsojan puolella oleva nelinumeroinen luku 4646.
Kun taikuri on mielessään kääntänyt näkemänsä kakkosrivin, hän lisää siihen 2 ja vähentää ensimmäisestä kaksi. Hän päätyy samaiseen tulokseen 24644. Taikuri voi puhua selvänäkemisestä tai ajatustenluvusta, mikä nyt hänen tyyliinsä sopii.
Rakentelua
Tällaisia palikoita saa ostettua valmiina taikurikaupoista nimellä Magic Math Sticks tai Magic Math Blocks. Sarjassa on yleensä neljä muovipalikkaa ja jokaisen palikan yhdellä sivulla neljä numeroa. Mutta keskiaikamarkkinoilla en tietenkään voinut käyttää muovisia leluja. Onneksi löysin Kubb-pelisetin K-Raudan alennuslaatikosta. Minulla ei ole vieläkään mitään käsitystä tästä pelistä, mutta laatikossa oli kymmenen 12 cm korkeaa ja 4 cm leveää tolppaa. Käytin niistä kuusi. Neljä jäi säästöön.
Jos temppu tuntuu matemaattisesti vähäiseltä, palikoiden tekeminen ihan itse tarjoaa puuhaa, jota suosittelen vahvasti vaikkapa matematiikkakerhoihin.
Koska halusin katsojalle enemmän valintoja (ikään kuin niillä olisi merkitystä), tein kuusi palikkaa ja palikoiden jokaiselle sivulle viisi numeroa. Katsotaan, miten palikat tehdään.
Ensimmäisessä kuvassa vasemmalla on täytetty yhden palikan yksi sivu, melkein kokonaan. Sivussa on numerot 3, 2, 7, 6. Näiden summa on oltava 18. Muutoin ensimmäisen sivun numerot voi keksiä miten tahansa.
Keskimmäisessä kuvassa sivu on täytetty loppuun. Neljännen rivin luku on punaisella. Tämä luku voi olla mitä tahansa kahdesta yhdeksään. Tätä ei huomioida laskusäännössä, jossa muiden summa on oltava 18. Miksi vähintään kaksi? Jos tämä sivu on palikkarivissä viimeisenä, oikeanpuoleisin, tästä vähennetään kaksi, etkä halua päätyä negatiivisiin lukuihin.
Ensimmäinen sivu on siis helppo. Paljon tilaa valinnoille. Seuraavaksi katsommekin palikan vastakkaisen puolen. Jos teemme palikan, joka mahdollistaa katsojan saaman summan näkymisen myös palikoiden vastakkaiselta puolelta (ja miksi emme tekisi).
Kolmannessa kuvassa näet, että olet jo päättänyt palikan vastakkaisen puolen sivun toisen ja neljännen numeron täyttäessäsi ensimmäistä sivua. Toinen numero (tässä kaksi) putoaa vastakkaisella sivulla paikalle neljä. Samoin neljäs numero nousee vastakkaisella puolella toiseksi numeroksi. Edelleen ensimmäisen, toisen, kolmannen ja viidennen numeron summa tulee olla 18, esimerkissämme 4+5+6+3=18. Luvun 5 päätit jo valitsemalla sen ensimmäisen sivun neljänneksi numeroksi. Ne kolme muuta voit ihan itse valita, kunhan summa 18 säilyy.
Otamme uuden kuvasarjan ja uuden, tyhjän sivun palikasta. Se täytetään samalla ajatuksella kuin ensimmäinen sivu. Vasemmanpuoleisessa kuvassa sinisellä olevat numerot antavat taas summaksi 18. Punaisella merkitty 7 voisi olla mikä vain numero kahdesta yhdeksäiseen. Samalla tavalla kuin äsken vastakkaisella sivustalla seiska nousee toiseksi numeroksi ja yhdeksän putoaa toiselta riviltä neljännelle riville. Tämän näet keskimmäisestä kuvasta.
Lopuksi oikeanpuoleisessa kuvassa on ensimmäinen valmis palikka, kaikki neljä sivua. Kuvan pystysarakkeet yksi ja kolme ovat palikassa vastakkaiset sivut, kuin myös pystysarakkeet kaksi ja neljä.
Tämän jälkeen pitää vielä tehdä lisää vastaavia palikoita. Jos teet vain neljä palikkaa, on siinäkin kuusitoista sivua täytettävänä. Vaikka ensimmäiseksi luvuksi palikan yläreunaan tulee väkisin samoja numeroita, vältä silti tilanteita, joissa kokonainen pystyrivi toistuu sellaisenaan jossain muussa palikassa. Matemaattisesti tällä ei ole merkitystä, mutta taikuriesityksessä on noloa, jos palikat näyttävät toistavan samoja numerosarjoja. Missä se katsojan vapaa valinta silloin on?
Matematiikkaa
Yllä kuvatulla tavalla tehtyjä palikoita voit valita mihin järjestykseen tahansa ja yksittäisen palikan mikä tahansa sivu voi olla katsojaan päin. Palikoiden numerot muodostavat (esimerkiksi) viisi nelinumeroista lukua. Viisi lukua siksi, että jokaisen palikan jokaisella sivulla on viisi numeroa allekkain, ja neljänumeroisia lukuja saat, kun valitset neljä palikkaa.
Matematiikka toimii samalla tavalla millä tahansa palikkamäärällä. Neljännen rivin luvun eteen kakkonen ja rivin viimeisestä luvusta vähennetään 2. Tämä toimii jopa yhdellä palikalla!
3
2
7
5
6
Katsoja laskee nämä yhteen (3+2+7+5+6) ja saa 23. Sinä katsot rivin neljättä numeroa, laitat sen eteen kakkosen ja vähennät samalla viitosesta kaksi. Kaksikymmentäkolme. Toimii.
Temppuilun kannalta on mielekästä antaa palikoiden valinnan määräksi kolmesta kuuteen (jos palikoita on kuusi erilaista).
Tussitauluversio
Jos et halua askarrella mitään, voit tehdä samanlaisen tempun (luokan) taululla.
Katsoja tai oppilas kirjoittaa taululle (vaikkapa) allekkain kolme viisinumeroista lukua.
Sinä haluat lukuja lisää, ja kirjoitat vielä kaksi viisinumeroista lukua. Tilanne näyttää esimerkiksi tältä:
6 4 9 2 3
2 3 8 1 2
7 8 2 1 3
3 5 0 7 6
2 1 7 8 6
Katsoja on keksinyt kolme ensimmäistä numerosarjaa. Sinun ensimmäinen numerosarjasi rakennetaan ylimmän rivin mukaisesti niin, että valitsemasi numero laskettuna yhteen ylärivin numeron kanssa on yhteenlaskettuna yhdeksän. Kun katsoja on aloittanut numerolla 6, sinä aloitat numerolla 6: Katsojan luku on 6 4 9 2 3. Sinun lukusi on 3 5 0 7 6. Samalla tavalla rakennat toisen luvun katsojan luvun mukaan. Katsoja 7 8 2 1 3 ja sinä 2 1 7 1 3.
Katsojalta jää yksi viisinumeroinen luku, joka ei saa sinulta vastaavaa lukua. Pois lukien katsojan lukua 2 3 8 1 2, pystyriveissä on luvut, joiden summa on 18. Niinpä viisinumeroisten lukujen summa saadaan tehtyä esimerkissämme toisen rivin luvusta laittamalla sen eteen kaksi ja vähentämällä ensimmäisestä kaksi. Esimerkissämme oikea vastaus lukujen summalle on 223810.
Lisäksi tiedämme että…
Tässä, aiheen laajuuden nähden, hyvin lyhyessä kirjoituksessa, olen jättänyt pois monet muut variaatiot, joissa taikuri huijaa tekevänsä mahdottomilta tuntuvia päässälaskuja ihan hetkessä. Tunnetuimpia esimerkkejä ovat Ajatustenlukukortit ja Numeronopat. Molemmista on laajat esittelyt kirjassani Pakottavia taulukoita ja Paradoksipapereita (MFKA 2022). Yhteen matemaattiseen numeroleikkiin palaamme tässä sarjassa vielä myöhemmin.
Historiaa
Alun perin Lightning calculator tarkoitti ihmistä, joka pystyi erittäin nopeisiin päässälaskuihin. Näistä henkilöistä tuli 1800-luvulla kuuluisuuksia: Zerah Colburn (1804–1839), George Parker Bidder (1806–1878), Johann Martin Zacharias Dase (1824–1861), Trueman Henry Safford (1836–1901). Etenkin poikkeuksellisen lahjakkaiden lasten esitykset olivat 1800-luvulla suosittua viihdettä. Näiden henkilöiden mahdottomilta tuntuvista tempuista oli lyhyt matka taikureiden Lightning Calculator’s Addition-temppuihin, joissa nopea laskutaito huijattiin.
1600-luvulta lähtien laskutemppuja ja -arvoituksia on julkaistu matemaattisissa kirjoissa, joten on todennäköistä, että edellä kuvattu laskukilpailu löytyy jostain hyvin vanhasta opuksesta. Seuraavassa on kuitenkin muutamia varmasti tiedettyjä osumia tästä tempusta:
Giovanni Giuseppe Pinetti (1750– n. 1803), italialainen matematiikan ja luonnontieteen professori ja taikuri julkaisi vuonna 1784 teoksen Physical Amusements and Diverting Experiments. Kirjassa on temppu, jonka otsikko alkaa sanoilla To make an addition before the Figures are set… (Miten tehdään yhteenlasku ennen kuin luvut on edes kirjoitettu). Tempun rakenne on pitkälti sama kuin edellä kerrottu Tussitauluversio. Pinetti toteaa kirjassaan, että osa hänen tempuistaan on jo aiemmin julkaistu ja että hän toivoo lukijoiden suhtautuvan tähän ymmärtäväisesti. Pinettin yhteenlaskutemppu ei siis välttämättä ole hänen kirjoittamansa.
Professori Hoffmanin (Louis Hoffmann 1839–1919) kirjassa More Magic (George Routledge and sons, London, 1890, s. 241) on temppu nimeltä To Predict the Sum of Five Rowa of Figures. Tempun rakenne ja matematiikka on sama kuin yllä olevassa Tussitauluversiossa.
Amerikkalainen taikuri Al Baker julkaisi vuonna 1936 The Jinx -lehdessä Numero!-nimisen tempun (The Jinx, heinäkuu 1936, s. 125 ja 126). Tempun matematiikka on tuttua yllä olevasta, mutta sen ympärille rakennettu esitys oli tuolloin uusi ja (edelleen) kiintoisa.
Werner Anttilan Jokamiehen taikakirjassa on oma lukunsa numerotempuista. Kappaleen ensimmäinen, Merkillinen yhteenlasku, on lähes sama kuin tuossa ylhäällä oleva Tussitauluversio (Karisto, painokset vuosilta 1945, 1950 ja 1991, s. 121).
Martti Sirén ja Timo Järvenpää, Viisi viiriäistä ja kaksi kelmiä (MFKA, 2018, s. 37, Laskukilpailu). Tämä temppu on mukana myös ensimmäisessä kirjassani. Katso myös samaisesta kirjasta Kertolaskukilpailu s. 39. Pikalaskentaa siinäkin!
Martti Sirén on hämeenlinnalainen taikuri, matemaagikko, tietokirjailija, kouluttaja, opettajille tarkoitettujen matemaattisten taikatemppujen työpajojen vetäjä, taikuuden historian penkoja ja tarinoiden kertoja, joskus kilpailuhenkisten tarinoiden kertoja.
Sarjan edellinen artikkeli: Klassiset matemaattiset taikatemput, osa 14: Karsitaan turhat pois
