Maittavaa matemaattista muhennosta
Matematiikkaan mieltyneelle tai sellaiselle, joka haluaa tartuttaa matematiikkainnostuksensa muihinkin kuten esimerkiksi opettaja oppilaisiinsa, on tarjolla rajattoman tuntuisesti kaikenlaista materiaalia: kirjoja, pelejä, verkkosivustoja jms. Käytän virikkeinä kahta erilaista lähdettä: Jeffrey Zilahyn kirjaa [1] A Cultural Paradox: Fun in Mathematics, ja amerikkalaisen Amplify-yrityksen [2] ilmaista Polypad-sivustoa [3]. Yritän lisäksi tuoda esille vuosien varrella kohtaamiani, samantapaisia asioita käsitteleviä lähteitä.
Zilahyn kirja alkaa Monty Hall -ongelmasta. En kirjoita siitä sen enempää, sillä siitä alkaa myös Tapio Lindin kirja [4] Vesimelonin kuivatus ja muita matemaattisia pähkinöitä, jossa Lind on selittänyt ratkaisua perusteellisesti. Sama ongelma, vaikka toisenlaisessa kehyskertomuksessa, on julkaistu vuosia aikaisemmin Martin Gardnerin kirjan [5] Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight neljännessä luvussa nimellä Three-Shell Game. Sekin kirja on tutustumisen arvoinen, sillä se koostuu 80 matemaattisesta tai loogisesta pulmatehtävästä, joita tekijä luonnehtii paradokseiksi.
Zilahyn kirjassa on toisena aiheena (luku 3) syntymäpäiväparadoksi. Sitähän on ansiokkaasti käsitellyt Dimensiossa Martti Sirén [6], joten ei siitäkään sen enempää. Kolmantena Zilahyn aiheena on äärettömyys. Teksti on vain liuskan mittainen. Lyhyys kertoo, miten keveästi Zilahy käsittelee laajoja ja syvällisiä aiheita. Johdannossa hän neuvookin lukijaansa ajattelemaan kutakin lukua lyhyenä keskustelupuheenvuorona ja etsimään tarkempia tietoja kirjakaupoista tai verkosta. Äärettömyysluvussa Zilahy viittaa Cantorin transfiniittisiin lukuihin. Google-haku ”Cantor´s tranfinite numbers” antaa runsaat neljä ja puoli tuhatta osumaa. Vastaava suomenkielinen haku antaa sekin lähes kolmesataa tulosta. Perusymmärryksen tasolla äärettömyyteen johdattelee Milo Beckmanin kirja [7] Matematiikkaa ilman lukuja.
Neljäs aihe on valehtelijan paradoksi. Sitä käsitellään muistaakseni Smullyanin kirjassa [8] Mikä tämän kirjan nimi on. Sitä kirjaa en onnistunut löytämään kirjahyllystäni, vaikka varmasti tiedän, että minulla se on. Luetin sitä nimittäin aikanaan oppitunneilla etevimmillä seiskaluokkalaisilla, joiden katsoin hyötyvän enemmän muusta kuin samanlaisina toistuvien, rutiininomaisten oppikirjatehtävien tekemisestä.
Zilahyn kuudentena aiheena (kirjan luku 7) on matemaattinen huumori. Hänen esimerkkinsä ovat leikittelyä kielellä. Esimerkiksi ”on vain kolmenlaisia ihmisiä: niitä, jotka osaavat laskea, ja niitä, jotka eivät osaa”. Kaksi muuta esimerkkiä perustuvat englanninkieleen: ”Why was the number 6 afraid of its consecutive integer 7? Because 7 8 9.” Tätä piti miettiä jonkin aikaa ja lukea teksti mielessään yhä uudestaan ennen kuin vitsin kärki aukeni. Sen sijaan ”5q + 5q = ? You are welcome” ei avautunut ollenkaan, ennen kuin löysin selityksen verkosta: 10q ääntyy vähän samaan tapaan kuin ”thank you”. Luku on tavallista pitempi, sillä vitsejä on kaikkiaan 18. Enemmän matematiikkavitsejä oli aikanaan eDimension sivuilla [9]. Jos saat jostain käsiisi, niin tutustu myös alan perusteokseen Mathematics and Humor [10].
Seitsemäs aihe (kahdeksas luku) käsittelee epäeuklidisia geometrioita. Mallina on kuva pallogeometriasta, vaikka Zilahy mainitsee vain nimet hyperbolinen ja elliptinen geometria. Tätä aihetta on käsitelty paljon Dimensiossakin [11]. Seitsemännentoista luvun aihe on π ja sen transkendenttisuus. Sitä on käsitellyt tarkemmin Matti Lehtinen Solmu-lehdessä. [12]
Aiheiden laajuus vaihtelee kovasti, sillä esimerkiksi luku 23 käsittelee vain lukua nolla ja kirjan luku 42 kokonaislukua 42. Koulun matematiikan tunteja piristäviä aiheita voisivat olla myös esimerkiksi Escherin taide [13] (luku 27), origami [14] (luku 30) ja Tasomaa [15], [16] (luku 35).
Zilahy katsoo maailmaa matematiikkasilmälasien läpi. Hänen tieteen mallinsa on sellainen, että matematiikka on kaiken tieteen perusta ja ehkä enemmänkin: softa/ohjelmisto, joka pyörittää maailmankaikkeuden fyysisiä osia/rautaa. Tiede voidaan hänen mielestään nähdä puuna, jonka runko on matematiikka. Sen vankin haara on fysiikka, joka käyttää matematiikkaa maailman kuvaamiseen ja selittämiseen. Sillä perusteella fysiikka on siis soveltavaa matematiikkaa. Fysiikasta haarautuu taas kemia, kemiasta biologia ja biologiasta edelleen psykologia.
Mitä pitemmälle kirjassa edetään, sitä yleisempiä ja kauempana koulumatematiikasta olevia aiheita siinä esiintyy. Esimerkiksi luku 16 käsittelee suhteellisuusteoriaa ja kvanttimekaniikkaa, luku 21 mahdottomuutta katkaista spagetti kahteen osaa, luku 27 Einsteinin energiakaavaa E = mc2, luku 36 lingvisti Noam Chomskya, luku 43 äänen ja valon nopeutta sekä luku 50 DARPAa ja internetiä. Sellaisena kirja ei vastaa kovinkaan hyvin sitä, mitä otsikko antaa odottaa, erityisesti matematiikan hauskuuden osalta. Silti se on tutustumisen arvoinen matematiikkaan liittyvien mielleyhtymiensä moninaisuuden ansiosta.
Polypad
Polypad [3] on monipuolinen kokoelma matematiikkamateriaaleja. Tuomo Riekkinen on kertonut sen yhtälönratkaisuosasta Dimensio-jutussaan [17]. Siellä on paljon muutakin matematiikan oppimiseen liittyvää konkreettista materiaalia sähköisessä muodossa, esimerkiksi rakentelukuutioita, satalevyjä ja tuhatkuutioita lukukäsitteen oppimiseen, algebralaattoja sekä funktiokone.
Se sisältää myös ajattelua rikastuttavia geometrisia aineksia [18] kuten monineliöitä (polyominoes), tangram, laatoituksia sekä mallit ja taide -otsikon alle piilotetun, maanmainion tantrixin [19]. Se on olemassa konkreettisenakin pelinä ja sillä on suomalaiset kotisivut [20]. Varsinkin tämä viimeksi mainittu ja monineliöt tarjoavat geometrista ajattelua harjoittavaa, innostavaa ja vapaata askartelua.
Ensiavaamalta pidin kiusallisena sitä, että näissä ei ole mitään toimintaohjeita, ei edes aloittamiseen. Muutamalla rohkealla kokeilulla pääsee kuitenkin hyvin alkuun. Juuri tämä oppimisen kynnyskokemus on kuitenkin erityisen palkitsevaa. Se on sama koukuttava elämys kuin monien digipelien sääntöjen oppiminen pelaamisen edetessä.
Lähteitä ja lisää luettavaa
[1] Zilahy, Jeffrey A.: A Cultural Paradox: Fun in Mathematics. J 2 the Z Publishing, USA 2010. Saatavissa verkosta https://lesen.amazon.de/?asin=B004EYUCAG&ref_=kwl_kr_iv_rec_1
[2] Amplify osoitteessa https://amplify.com/company/
[3] Welcome to Polypad! osoitteessa https://polypad.amplify.com/
[4] Lind, Tapio: Vesimelonin kuivatus ja muita matemaattisia pähkinöitä. Docendo, Jyväskylä, 2021. Katso myös kirjan esittely Dimensiossa 5.10.2021
[5] Gardner, Martin: Aha! Gotcha. Paradoxes to puzzle and delight. W. H. Freeman and Company, New York 1982.
[6] Sirén, Martti: Matemaattisia taikoja ja variaatiota muistilehtiöstäni, osa 5: Syntymäpäiväparadoksi (Dimensio 2.3.2023)
Katso myös Sirénin kirjaa Syntymäpäiväparadoksi: sekä muita todennäköisyyksiin perustuvia taikatemppuja, työkaluja hauskempaan opetukseen ja todemman näköisempään taikuuteen. MFKA-Kustannus Oy, 2020.
[7] Beckman, Milo: Matematiikkaa ilman lukuja. Terra Cognita, 2023. Katso kirjaesittelyä Dimensiossa 7.3.2024
[8] Smullyan, Raymond M.: Mikä tämän kirjan nimi on? Terra Cognita, 1999.
[9] Esimerkiksi Andrei ja Elena Tsherkaevin kokoelmasta Math Jokes suomennetut vitsit eDimension vuosikertakoosteissa 2009, 2010, 2011, 2012 ja 2013 tai englanninkielisinä alkuperäisivustolta Mathematical Humor osoitteesta https://www.math.utah.edu/~cherk/mathjokes.html
[10] Paulos, John Allen: Mathematics and Humor. University of Chicago Press, 1980. Julkaistu myöhemmin nidottuna.
[11] Korhonen, Hannu: Geometriaa pallolla. Dimensio 68 (2004): 2, s. 10–13. Katso myös juttusarjaa Pallogeometrian perushahmotusta 1–7. Dimensio, 2019.
[12] Lehtinen, Matti: Miksi π on irrationaalinen? Solmu 2/2001, s. 6–8. Saatavissa osoitteesta https://matematiikkalehtisolmu.fi/2001/2/solmu18.pdf
[13] Katso esimerkiksi Korhonen, Hannu (1982): Taiteen ja matematiikan yhteyksiä 4. Järjestys ja järjettömyys Escherin teoksissa. Funktio 2/1982 s. 2–5 tai Forty, Sandra: M. C. Escher. Grange Books, 2003.
[14] Korhonen, Hannu: Askartelua ja aivojumppaa. Origami 1 (Dimensio 27.3.2020) ja Origami 2 (Dimensio 3.4.2020)
[15] Abbott, Edwin Abbott: Tasomaa – moniulotteinen romanssi. Terra Cognita 1997.
[16] Korhonen, Hannu: Ajan ja avaruuden geometriaa 1–3. Funktio 2/1980, 3/1980 ja 4/1980.
[17] Riekkinen, Tuomo: Amplify Polypad: Yhtälön ratkaisun visualisointia yhtälövaa’an avulla (Dimensio 25.4.2024)
[18] Polypad Geometry osoitteessa https://polypad.amplify.com/p#geometry
[19] https://polypad.amplify.com/p#patterns
[20] Mikä on Tantrix osoitteessa http://www.tantrix.fi/vad.php?lan=fi
Tilaa Dimension uutiskirje – saat sähköpostiisi aina kuunvaihteessa koosteen tuoreimmista artikkeleista
